Комбінаторні методи. Метод гілок та меж

Комбінаторні методи

В основі комбінаторних методів є перебір можливих варіантів розв’язків поставленої задачі. Для розв’язування задач цілочислового програмування ефективнішим за метод Гоморі є метод гілок і меж. Спочатку, як і в разі методу Гоморі, симплексним методом розв’язується послаблена (без умов цілочисловості) за-дача. Потім вводиться правило перебору.

Нехай потрібно знайти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j

— цілочислову змінну, значення якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j= x'_j
в оптимальному плані послабленої задачі є дробовим. Очевидно, що в деякому околі даної точки також не існує цілочислових значень, тому відповідний проміжок можна виключити з множини допустимих планів задачі в подальшому розгляді. Та-ким проміжком є інтервал між найближчими до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x'_j
цілочисловими значеннями. Можна стверджувати, що на інтервалі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \left [ \left [ x'_j \right ] ; \left [ x'_j \right ] + 1 \right ] 

цілих значень немає.

Наприклад, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x'_j = 2,7

дістаємо інтервал Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left [ 2;3 \right ]
, де, очевидно, немає Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j
, яке набуває цілого значення і оптимальний розв’язок буде знаходитися або в інтервалі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j \le 2

, або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j \ge 3

Виключення проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left [ 2;3 \right ]
з множини допустимих планів здійснюється введенням до системи обмежень початкової задачі додаткових нерівностей. Тобто допустиме ціле значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j
має задовольняти одну з нерівностей виду:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j \le \left [ x'_j \right ]

або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j \ge \left [ x'_j \right ] +1

Дописавши кожну з цих умов до задачі з послабленими обмеженнями, дістанемо дві, не пов’язані між собою, задачі. Тобто, початкову задачу цілочислового програмування поділимо на дві задачі з урахуванням умов цілочисловості змінних, значення яких в оптимальному плані послабленої задачі є дробовими. Це означає, що симплекс-методом розв’язуватимемо дві такі задачі:

перша задача:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \max \,(\min )\,\,F=\sum\limits_{j=1}^n {c_{j} x_{j} } (1)

за умов:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum\limits_{j=1}^n {a_{ij} x_{j} } \left\{ {\begin{array}{l} \le \\ = \\ \ge \\ \end{array}} \right\}b_{i} \quad \left( {i=\overline {1,m} } \right); (2)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j} \ge 0 \quad \left( {j=\overline {1,n} } \right); (3)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \quad x_{j}

- цілі числа  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left( {j=\overline {1,n} } \right);

(4) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j \le \left [ x'_j \right ] (5)

друга задача:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \max \,(\min )\,\,F=\sum\limits_{j=1}^n {c_{j} x_{j} } (6)

за умов:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum\limits_{j=1}^n {a_{ij} x_{j} } \left\{ {\begin{array}{l} \le \\ = \\ \ge \\ \end{array}} \right\}b_{i} \quad \left( {i=\overline {1,m} } \right); (7)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j} \ge 0 \quad \left( {j=\overline {1,n} } \right); (8)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \quad x_{j}

- цілі числа  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left( {j=\overline {1,n} } \right);

(9) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j \ge \left [ x'_j \right ] (10)

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x'_j

 — дробова компонента розв’язку початкової задачі цілочислового програмування. Наведені задачі (1)—(5) і (6)—(10) спочатку послаблюємо, тобто розв’язуємо з відкиданням обмежень (4) і (9). Якщо знайдені оптимальні плани задовольняють умови цілочисловості, то ці плани є розв’язками початкової задачі цілочислового програмування. Інакше пошук розв’язку задачі триває. Для дальшого розгалуження вибираємо розв’язок задачі з більшим значенням цільової функції, якщо йдеться про максимізацію, і навпаки — з меншим значенням цільової функції в разі її мінімізації. Подальше розгалуження виконується доти, доки не буде встановлено неможливість поліпшення розв’язку. Здобутий останній план — оптимальний.

Розв’язування цілочислових задач методом гілок і меж можна значно прискорити. Очевидно, що кожна наступна задача, яку отримують в процесі розв’язування відрізняється від попередньої лише одним обмеженням. Досить буде почергово приєднати нові обмеження виду (5) і (10) до останньої симплекс-таблиці попередньої задачі та вилучити (в разі необхідності) непотрібні «старі» обмеження.

Геометрично введення додаткових лінійних обмежень виду (5) та (10) в систему обмежень початкової задачі означає проведення гіперплощин (прямих), що розтинають багатогранник (багатокутник) допустимих планів відповідної задачі лінійного програмування у такий спосіб, що уможливлюється включення в план найближчої цілої точки цього багатокутника.

Допустимо, що А — точка максимуму, тоді за методом гілок та меж багатокутник допустимих планів задачі ABCOD поділяється на дві частини прямими Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x'_1 = \left [ x'_1 \right ]

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x'_1 = \left [ x'_1 \right ]+1

, що виключає з розгляду точку А, координата якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x'_1

є не цілим числом.

Алгоритм методу гілок та меж:

Загальна цілочислова задача лінійного програмування записується так:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \max \,(\min )\,\,F=\sum\limits_{j=1}^n {c_{j} x_{j} } (1)

за умов:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum\limits_{j=1}^n {a_{ij} x_{j} } \left\{ {\begin{array}{l} \le \\ = \\ \ge \\ \end{array}} \right\}b_{i} \quad \left( {i=\overline {1,m} } \right); (2)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j} \ge 0 \quad \left( {j=\overline {1,n} } \right); (3)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \quad x_{j}

- цілі числа  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left( {j=\overline {1,n} } \right);

(4)

1. Симплексним методом розв’язують задачу (1)—(3) (без вимог цілочисловості змінних).

Якщо серед елементів умовно-оптимального плану немає дробових чисел, то цей розв’язок є оптимальним планом задачі цілочислового програмування (1)—(4).

Якщо задача (1)—(3) не має розв’язку (цільова функція необмежена, або система обмежень несумісна), то задача (1)—(4) також не має розв’язку.

2. Коли в умовно-оптимальному плані є дробові значення, то вибирають одну з нецілочислових змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_i

і визначають її цілу частину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \left [ x'_i \right ]

3. Записують два обмеження, що відтинають нецілочислові розв’язки:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_i \le \left [ x'_i \right ] Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_i \ge \left [ x'_i \right ] +1

4. Кожну з одержаних нерівностей приєднують до обмежень початкової задачі. В результаті отримують дві нові цілочислові задачі лінійного програмування.

5. У будь-якій послідовності розв’язують обидві задачі. У разі, коли отримано цілочисловий розв’язок хоча б однієї із задач, значення цільової функції цієї задачі зіставляють з початковим значенням. Якщо різниця не більша від заданого числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \epsilon , то процес розв’язування може бути закінчено. У разі, коли цілочисловий розв’язок одержано в обох задачах, то з розв’язком початкової зіставляється той, який дає краще значення цільової функції. Якщо ж в обох задачах одержано нецілочислові розв’язки, то для дальшого гілкування вибирають ту задачу, для якої здобуто краще значення цільової функції і здійснюють перехід до кроку 2.