Модифіковані функції Беселя

Модифіковані функції Бесселя - це функції Бесселя від уявного аргументу. Якщо в диференціальному рівнянні Бесселя

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} + (z^2 - \nu^2)\omega = 0

замінити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z

на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ iz

, воно набуде вигляду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} - (z^2 + \nu^2)\omega = 0, \qquad (1)

Це рівняння називається модифікованим рівнянням Бесселя. Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

не є цілим числом, то функції Бесселя Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_\nu(iz)
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_{-\nu}(iz)
є двома лінійно незалежними розв'язками рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(1)

, проте частіше використовують функції

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_\nu(z)=e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}J_ \nu \left( z e^{\frac{i\pi}{2}}\right)=\sum^\infty_{k=0}\frac{\left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+\nu}}{k!\Gamma(k+\nu+1)}

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~I_{-\nu}(z).

Їх називають модифікованими функціями Бесселя першого роду або функціями Інфельда.

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

- дійсне число, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z
- додатнє, ці функції приймають дійсні значення.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

називається порядком функції.

Функція

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_\nu(z)=\frac{\pi}{2\sin \nu\pi}\biggl[I_\nu(z)-I_{-\nu}(z)\biggr]

також є рішенням рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(1) . Її називають модифікованої функцією Бесселя другого роду або функцією Макдональда. очевидно, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_\nu(z)=K_{-\nu}(z)

і приймає дійсні значення, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

— дійсне число, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z
— додатнє.

Файл:500px-BesselI Functions (1st Kind, n=0,1,2,3)1.jpg Графік модифікованих функцій Бесселя першого роду з різними порядками

Файл:500px-BesselK Functions (n=0,1,2,3)2.jpeg Графік модифікованих функцій Бесселя другого роду з різними порядками