Модифіковані функції Беселя

Модифіковані функції Бесселя - це функції Бесселя від уявного аргументу. Якщо в диференціальному рівнянні Бесселя

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} + (z^2 - \nu^2)\omega = 0

замінити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z

на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ iz

, воно набуде вигляду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} - (z^2 + \nu^2)\omega = 0, \qquad (1)

Це рівняння називається модифікованим рівнянням Бесселя. Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

не є цілим числом, то функції Бесселя Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_\nu(iz)
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_{-\nu}(iz)
є двома лінійно незалежними розв'язками рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(1)

, проте частіше використовують функції

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_\nu(z)=e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}J_ \nu \left( z e^{\frac{i\pi}{2}}\right)=\sum^\infty_{k=0}\frac{\left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+\nu}}{k!\Gamma(k+\nu+1)}

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~I_{-\nu}(z).

Їх називають модифікованими функціями Бесселя першого роду або функціями Інфельда.

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

- дійсне число, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z
- додатнє, ці функції приймають дійсні значення.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

називається порядком функції.

Функція

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_\nu(z)=\frac{\pi}{2\sin \nu\pi}\biggl[I_\nu(z)-I_{-\nu}(z)\biggr]

також є рішенням рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(1) . Її називають модифікованої функцією Бесселя другого роду або функцією Макдональда. очевидно, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_\nu(z)=K_{-\nu}(z)

і приймає дійсні значення, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

— дійсне число, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z
— додатнє.

Графік модифікованих функцій Бесселя першого роду з різними порядками

Графік модифікованих функцій Бесселя другого роду з різними порядками

Рекурентні співвідношення та формули диференціювання

Модифіковані функції Бесселя першого роду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^\nu I_\nu(z) \Bigr]=z^{\nu-m} I_{\nu-m}(z).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^{-\nu} I_\nu(z) \Bigr]=z^{-\nu-m} I_{\nu+m}(z).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~I_{\nu-1}(z)-I_{\nu+1}(z)=2\nu z^{-1} I_\nu(z).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~I_{\nu-1}(z)+I_{\nu+1}(z)=2I'_\nu(z).

Модифіковані функції Бесселя другого роду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^\nu K_\nu(z) \Bigr]=(-1)^m z^{\nu-m} K_{\nu-m}(z).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^{-\nu} K_\nu(z) \Bigr]=(-1)^m z^{-\nu-m} K_{\nu+m}(z).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_{\nu-1}(z)-K_{\nu+1}(z)=-2\nu z^{-1} K_\nu(z).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_{\nu-1}(z)+K_{\nu+1}(z)=-2K'_\nu(z).

Вронскіан системи модифікованих функцій Бесселя

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): W\left[I_\nu(z),I_{-\nu}(z)\right]=-\frac{2\sin(\nu\pi)}{\pi z}.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): W\left[I_\nu(z),K_\nu (z)\right]=z^{-1}.

Інтегральні представлення

Модифіковані функції Бесселя першого роду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_\nu (z)=\frac{2^{-\nu}z^\nu}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+\frac12)}\int_0^\pi e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu} dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12, \Gamma(z)

— гамма-функція.