Найпростіші тригонометричні рівняння

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники. Під час розв’язування тригонометричних рівнянь цим способом усі члени рівняння переносять у ліву частину і подають утворений вираз у вигляді добутку. Далі використовують необхідну і достатню умови рівності нулю добутку тригонометричних виразів: добуток двох або кількох співмножників дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли принаймні один зі співмножників дорівнює нулю, а інші при цьому не втрачають змісту. Розглянемо цей спосіб.

Приклад.

Розв’яжіть рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2 sin⁡x cos⁡2x-1+2 cos⁡2x-sin⁡x=0 .

Розв’язання. Згрупуємо доданки у лівій частині рівняння:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (2 sin⁡x cos⁡2x-sin⁡x )+(2 cos⁡2x-1)=0 .

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2 sin⁡x cos⁡2x-1+2 cos⁡2x-sin⁡x=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (2cos⁡2х-1)(sin⁡х+1)=0

Враховуючи умову рівності нулю, маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2 cos⁡2х-1=0

або  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): sin⁡х+1=0

.

Кожне з цих рівнянь легко звести до найпростішого:

Відповідь: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): х=±π/6+πn,n∈Z

;

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): х=-π/2+2πk,k∈Z

.

Тригонометричні рівняння