Відмінності між версіями «Модифіковані функції Беселя»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(Створена сторінка: '''Модифіковані функції Бесселя''' - це функції Бесселя від уявного аргументу. Якщо в дифер…)
 
Рядок 3: Рядок 3:
 
замінити <math>\ z</math> на <math>\ iz</math>, воно набуде вигляду  
 
замінити <math>\ z</math> на <math>\ iz</math>, воно набуде вигляду  
 
: <math>z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} - (z^2 + \nu^2)\omega = 0, \qquad (1)</math>
 
: <math>z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} - (z^2 + \nu^2)\omega = 0, \qquad (1)</math>
Це рівняння називається'''''модифікованим рівнянням Бесселя'''''
+
Це рівняння називається '''''модифікованим рівнянням Бесселя'''''
 
Якщо <math>~\nu</math> не є цілим числом, то функції Бесселя <math>~J_\nu(iz)</math> и <math>~J_{-\nu}(iz)</math> є двома лінійно незалежними розв'язками рівняння <math>~(1)</math>, проте частіше використовують функції
 
Якщо <math>~\nu</math> не є цілим числом, то функції Бесселя <math>~J_\nu(iz)</math> и <math>~J_{-\nu}(iz)</math> є двома лінійно незалежними розв'язками рівняння <math>~(1)</math>, проте частіше використовують функції
 
:<math>I_\nu(z)=e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}J_ \nu \left( z e^{\frac{i\pi}{2}}\right)=\sum^\infty_{k=0}\frac{\left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+\nu}}{k!\Gamma(k+\nu+1)}</math> и <math>~I_{-\nu}(z).</math>
 
:<math>I_\nu(z)=e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}J_ \nu \left( z e^{\frac{i\pi}{2}}\right)=\sum^\infty_{k=0}\frac{\left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+\nu}}{k!\Gamma(k+\nu+1)}</math> и <math>~I_{-\nu}(z).</math>
 +
 +
Їх називають'''''модифікованими функціями Бесселя першого роду''''' або'''''функціями Інфельда'''''.
 +
 +
Якщо <math>~\nu</math> - дійсне число, а <math>~z</math> - додатнє, ці функції приймають дійсні значення.
 +
<math>~\nu</math> називається порядком функції.
 +
 +
Функція
 +
: <math>~K_\nu(z)=\frac{\pi}{2\sin \nu\pi}\biggl[I_\nu(z)-I_{-\nu}(z)\biggr]</math>
 +
також є рішенням рівняння <math>~(1)</math>. Її називають'''''модифікованої функцією Бесселя другого роду''''' або'''''функцією Макдональда'''''. очевидно, що
 +
: <math>~K_\nu(z)=K_{-\nu}(z)</math>
 +
і приймає дійсні значення, якщо <math>~\nu</math> — дійсне число, а <math>~z</math> — додатнє.
 +
 +
{| align="center"
 +
|-
 +
| [[Image:BesselI Functions (1st Kind, n=0,1,2,3).svg|none|thumb|350px|График модифицированных функций Бесселя первого рода с различными порядками]]
 +
| [[Image:BesselK Functions (n=0,1,2,3).svg|none|thumb|350px|График модифицированных функций Бесселя второго рода с различными порядками]]
 +
|}

Версія за 15:26, 19 травня 2010

Модифіковані функції Бесселя - це функції Бесселя від уявного аргументу. Якщо в диференціальному рівнянні Бесселя

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} + (z^2 - \nu^2)\omega = 0

замінити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z

на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ iz

, воно набуде вигляду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} - (z^2 + \nu^2)\omega = 0, \qquad (1)

Це рівняння називається модифікованим рівнянням Бесселя Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

не є цілим числом, то функції Бесселя Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_\nu(iz)
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_{-\nu}(iz)
є двома лінійно незалежними розв'язками рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(1)

, проте частіше використовують функції

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_\nu(z)=e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}J_ \nu \left( z e^{\frac{i\pi}{2}}\right)=\sum^\infty_{k=0}\frac{\left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+\nu}}{k!\Gamma(k+\nu+1)}
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~I_{-\nu}(z).


Їх називаютьмодифікованими функціями Бесселя першого роду абофункціями Інфельда.

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

- дійсне число, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z
- додатнє, ці функції приймають дійсні значення.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

називається порядком функції.

Функція

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_\nu(z)=\frac{\pi}{2\sin \nu\pi}\biggl[I_\nu(z)-I_{-\nu}(z)\biggr]

також є рішенням рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(1) . Її називаютьмодифікованої функцією Бесселя другого роду абофункцією Макдональда. очевидно, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_\nu(z)=K_{-\nu}(z)

і приймає дійсні значення, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu

— дійсне число, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z
— додатнє.
Файл:BesselI Functions (1st Kind, n=0,1,2,3).svg
График модифицированных функций Бесселя первого рода с различными порядками
Файл:BesselK Functions (n=0,1,2,3).svg
График модифицированных функций Бесселя второго рода с различными порядками