Відмінності між версіями «Модифіковані функції Беселя»
Матеріал з Вікі ЦДУ
| Рядок 3: | Рядок 3: | ||
замінити <math>\ z</math> на <math>\ iz</math>, воно набуде вигляду | замінити <math>\ z</math> на <math>\ iz</math>, воно набуде вигляду | ||
: <math>z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} - (z^2 + \nu^2)\omega = 0, \qquad (1)</math> | : <math>z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} - (z^2 + \nu^2)\omega = 0, \qquad (1)</math> | ||
| − | Це рівняння називається '''''модифікованим рівнянням Бесселя''''' | + | Це рівняння називається '''''модифікованим рівнянням Бесселя'''''. |
Якщо <math>~\nu</math> не є цілим числом, то функції Бесселя <math>~J_\nu(iz)</math> и <math>~J_{-\nu}(iz)</math> є двома лінійно незалежними розв'язками рівняння <math>~(1)</math>, проте частіше використовують функції | Якщо <math>~\nu</math> не є цілим числом, то функції Бесселя <math>~J_\nu(iz)</math> и <math>~J_{-\nu}(iz)</math> є двома лінійно незалежними розв'язками рівняння <math>~(1)</math>, проте частіше використовують функції | ||
:<math>I_\nu(z)=e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}J_ \nu \left( z e^{\frac{i\pi}{2}}\right)=\sum^\infty_{k=0}\frac{\left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+\nu}}{k!\Gamma(k+\nu+1)}</math> и <math>~I_{-\nu}(z).</math> | :<math>I_\nu(z)=e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}J_ \nu \left( z e^{\frac{i\pi}{2}}\right)=\sum^\infty_{k=0}\frac{\left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+\nu}}{k!\Gamma(k+\nu+1)}</math> и <math>~I_{-\nu}(z).</math> | ||
| − | Їх називають'''''модифікованими функціями Бесселя першого роду''''' або'''''функціями Інфельда'''''. | + | Їх називають '''''модифікованими функціями Бесселя першого роду ''''' або '''''функціями Інфельда'''''. |
Якщо <math>~\nu</math> - дійсне число, а <math>~z</math> - додатнє, ці функції приймають дійсні значення. | Якщо <math>~\nu</math> - дійсне число, а <math>~z</math> - додатнє, ці функції приймають дійсні значення. | ||
| Рядок 14: | Рядок 14: | ||
Функція | Функція | ||
: <math>~K_\nu(z)=\frac{\pi}{2\sin \nu\pi}\biggl[I_\nu(z)-I_{-\nu}(z)\biggr]</math> | : <math>~K_\nu(z)=\frac{\pi}{2\sin \nu\pi}\biggl[I_\nu(z)-I_{-\nu}(z)\biggr]</math> | ||
| − | також є рішенням рівняння <math>~(1)</math>. Її називають'''''модифікованої функцією Бесселя другого роду''''' або'''''функцією Макдональда'''''. очевидно, що | + | також є рішенням рівняння <math>~(1)</math>. Її називають '''''модифікованої функцією Бесселя другого роду''''' або '''''функцією Макдональда'''''. очевидно, що |
: <math>~K_\nu(z)=K_{-\nu}(z)</math> | : <math>~K_\nu(z)=K_{-\nu}(z)</math> | ||
і приймає дійсні значення, якщо <math>~\nu</math> — дійсне число, а <math>~z</math> — додатнє. | і приймає дійсні значення, якщо <math>~\nu</math> — дійсне число, а <math>~z</math> — додатнє. | ||
| Рядок 20: | Рядок 20: | ||
{| align="center" | {| align="center" | ||
|- | |- | ||
| − | | [[Image: | + | | [[Image:500px-BesselI_Functions_(1st_Kind,_n=0,1,2,3)1.jpeg|none|thumb|350px|Графік модифікованих функцій Бесселя першого роду з різними порядками]] |
| − | | [[Image: | + | | [[Image:500px-BesselK_Functions_(n=0,1,2,3)2.jpeg|none|thumb|350px|Графік модифікованих функцій Бесселя другого роду з різними порядками]] |
|} | |} | ||
Версія за 15:32, 19 травня 2010
Модифіковані функції Бесселя - це функції Бесселя від уявного аргументу. Якщо в диференціальному рівнянні Бесселя
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} + (z^2 - \nu^2)\omega = 0
замінити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ iz
, воно набуде вигляду
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} - (z^2 + \nu^2)\omega = 0, \qquad (1)
Це рівняння називається модифікованим рівнянням Бесселя. Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu
не є цілим числом, то функції Бесселя Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_\nu(iz)
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_{-\nu}(iz)
є двома лінійно незалежними розв'язками рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(1)
, проте частіше використовують функції
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_\nu(z)=e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}J_ \nu \left( z e^{\frac{i\pi}{2}}\right)=\sum^\infty_{k=0}\frac{\left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+\nu}}{k!\Gamma(k+\nu+1)}
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~I_{-\nu}(z).
Їх називають модифікованими функціями Бесселя першого роду або функціями Інфельда.
Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu
- дійсне число, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z - додатнє, ці функції приймають дійсні значення.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu
називається порядком функції.
Функція
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_\nu(z)=\frac{\pi}{2\sin \nu\pi}\biggl[I_\nu(z)-I_{-\nu}(z)\biggr]
також є рішенням рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(1) . Її називають модифікованої функцією Бесселя другого роду або функцією Макдональда. очевидно, що
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_\nu(z)=K_{-\nu}(z)
і приймає дійсні значення, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu
— дійсне число, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z — додатнє.
| Файл:500px-BesselI Functions (1st Kind, n=0,1,2,3)1.jpeg Графік модифікованих функцій Бесселя першого роду з різними порядками |
Файл:500px-BesselK Functions (n=0,1,2,3)2.jpeg Графік модифікованих функцій Бесселя другого роду з різними порядками |
1.jpeg){kind=link}
2.jpeg){kind=link}