Відмінності між версіями «Модифіковані функції Беселя»
Матеріал з Вікі ЦДУ
| (не показано 8 проміжних версій цього учасника) | |||
| Рядок 14: | Рядок 14: | ||
Функція | Функція | ||
: <math>~K_\nu(z)=\frac{\pi}{2\sin \nu\pi}\biggl[I_\nu(z)-I_{-\nu}(z)\biggr]</math> | : <math>~K_\nu(z)=\frac{\pi}{2\sin \nu\pi}\biggl[I_\nu(z)-I_{-\nu}(z)\biggr]</math> | ||
| − | також є | + | також є розв'язком рівняння <math>~(1)</math>. Її називають '''''модифікованою функцією Бесселя другого роду''''' або '''''функцією Макдональда'''''. очевидно, що |
: <math>~K_\nu(z)=K_{-\nu}(z)</math> | : <math>~K_\nu(z)=K_{-\nu}(z)</math> | ||
і приймає дійсні значення, якщо <math>~\nu</math> — дійсне число, а <math>~z</math> — додатнє. | і приймає дійсні значення, якщо <math>~\nu</math> — дійсне число, а <math>~z</math> — додатнє. | ||
| Рядок 20: | Рядок 20: | ||
{| align="center" | {| align="center" | ||
|- | |- | ||
| − | | [[Image:500px-BesselI_Functions_(1st_Kind,_n=0,1,2,3) | + | | [[Image:500px-BesselI_Functions_(1st_Kind,_n=0,1,2,3).svg.png|none|thumb|350px|Графік модифікованих функцій Бесселя першого роду з різними порядками]] |
| − | | [[Image:500px-BesselK_Functions_(n=0,1,2,3) | + | | [[Image:500px-BesselK_Functions_(n=0,1,2,3).svg.png|none|thumb|350px|Графік модифікованих функцій Бесселя другого роду з різними порядками]] |
|} | |} | ||
| + | |||
| + | == Рекурентні співвідношення та формули диференціювання == | ||
| + | |||
| + | === Модифіковані функції Бесселя першого роду === | ||
| + | :<math>~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^\nu I_\nu(z) \Bigr]=z^{\nu-m} I_{\nu-m}(z).</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^{-\nu} I_\nu(z) \Bigr]=z^{-\nu-m} I_{\nu+m}(z).</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>~I_{\nu-1}(z)-I_{\nu+1}(z)=2\nu z^{-1} I_\nu(z).</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>~I_{\nu-1}(z)+I_{\nu+1}(z)=2I'_\nu(z).</math> | ||
| + | |||
| + | === Модифіковані функції Бесселя другого роду === | ||
| + | |||
| + | :<math>~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^\nu K_\nu(z) \Bigr]=(-1)^m z^{\nu-m} K_{\nu-m}(z).</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^{-\nu} K_\nu(z) \Bigr]=(-1)^m z^{-\nu-m} K_{\nu+m}(z).</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>~K_{\nu-1}(z)-K_{\nu+1}(z)=-2\nu z^{-1} K_\nu(z).</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>~K_{\nu-1}(z)+K_{\nu+1}(z)=-2K'_\nu(z).</math> | ||
| + | |||
| + | === [http://ru.wikipedia.org/wiki/Вронскиан Вронскіан] системи модифікованих функцій Бесселя === | ||
| + | :<math>W\left[I_\nu(z),I_{-\nu}(z)\right]=-\frac{2\sin(\nu\pi)}{\pi z}.</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>W\left[I_\nu(z),K_\nu (z)\right]=z^{-1}.</math> | ||
| + | |||
| + | == Інтегральні представлення == | ||
| + | |||
| + | === Модифіковані функції Бесселя першого роду === | ||
| + | :<math>I_\nu (z)=\frac{2^{-\nu}z^\nu}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+\frac12)}\int_0^\pi e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu} dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12, \Gamma(z)</math> — [http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамма-функция гамма-функція]. | ||
| + | |||
| + | :<math>I_\nu (z)=\frac{2^{1-\nu}z^\nu}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+\frac12)}\int_0^1 (1-t^2)^{\nu-\frac12}\cosh(zt) dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>I_\nu (z)=\frac{2^{-\nu}z^\nu}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+\frac12)}\int_{-1}^1 (1-t^2)^{\nu-\frac12} e^{-zt} dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>I_n(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{z\cos t}\cos (nt)dt, \qquad n \in \mathbb Z, Re(z)>0.</math> | ||
| + | |||
| + | === Модифіковані функції Бесселя другого роду === | ||
| + | |||
| + | :<math>K_\nu(z)=\int_0^\infty e^{-z\cosh t}\cosh (\nu t)dt, \qquad Re(z)>0.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>K_\nu (z)=\frac{\sqrt{\pi}z^\nu}{\Gamma(\nu+\frac12)}\int_1^\infty (t^2-1)^{\nu-\frac12}e^{-zt} dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12, Re(z)>0.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>K_\nu (z)=\frac{\sqrt{\pi}z^\nu}{\Gamma(\nu+\frac12)}\int_0^\infty e^{-z\cosh t}\left(\sinh t \right)^{2\nu} dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12, Re(z)>0.</math> | ||
| + | |||
| + | == Асимптотична поведінка == | ||
| + | :<math>I_\nu(z)\varpropto \frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}}\left(1+O\left(\frac{1}{z} \right) \right), \qquad \left|Arg(z)\right|<\frac{\pi}{2},\left|z\right| \to \infty.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>K_\nu(z)\varpropto \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z}}\left(1+O\left(\frac{1}{z} \right) \right), \qquad \left|z\right| \to \infty.</math> | ||
| + | |||
| + | Виконала: [[Користувач: Куян Юлія Іванівна|Куян Юлія]] | ||
| + | |||
| + | [[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] | ||
Поточна версія на 21:39, 20 травня 2010
Модифіковані функції Бесселя - це функції Бесселя від уявного аргументу. Якщо в диференціальному рівнянні Бесселя
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} + (z^2 - \nu^2)\omega = 0
замінити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ iz
, воно набуде вигляду
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z^2 \frac{d^2 \omega}{dz^2} + z \frac{d\omega}{dz} - (z^2 + \nu^2)\omega = 0, \qquad (1)
Це рівняння називається модифікованим рівнянням Бесселя. Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu
не є цілим числом, то функції Бесселя Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_\nu(iz)
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~J_{-\nu}(iz)
є двома лінійно незалежними розв'язками рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(1)
, проте частіше використовують функції
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_\nu(z)=e^{-\frac{i\nu\pi}{2}}J_ \nu \left( z e^{\frac{i\pi}{2}}\right)=\sum^\infty_{k=0}\frac{\left( \dfrac{z}{2} \right)^{2k+\nu}}{k!\Gamma(k+\nu+1)}
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~I_{-\nu}(z).
Їх називають модифікованими функціями Бесселя першого роду або функціями Інфельда.
Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu
- дійсне число, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z - додатнє, ці функції приймають дійсні значення.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu
називається порядком функції.
Функція
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_\nu(z)=\frac{\pi}{2\sin \nu\pi}\biggl[I_\nu(z)-I_{-\nu}(z)\biggr]
також є розв'язком рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~(1) . Її називають модифікованою функцією Бесселя другого роду або функцією Макдональда. очевидно, що
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_\nu(z)=K_{-\nu}(z)
і приймає дійсні значення, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\nu
— дійсне число, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z — додатнє.
.svg.png) |
.svg.png) |
Зміст
Рекурентні співвідношення та формули диференціювання
Модифіковані функції Бесселя першого роду
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^\nu I_\nu(z) \Bigr]=z^{\nu-m} I_{\nu-m}(z).
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^{-\nu} I_\nu(z) \Bigr]=z^{-\nu-m} I_{\nu+m}(z).
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~I_{\nu-1}(z)-I_{\nu+1}(z)=2\nu z^{-1} I_\nu(z).
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~I_{\nu-1}(z)+I_{\nu+1}(z)=2I'_\nu(z).
Модифіковані функції Бесселя другого роду
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^\nu K_\nu(z) \Bigr]=(-1)^m z^{\nu-m} K_{\nu-m}(z).
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\left(\frac{d}{zdz}\right)^m\Bigl[z^{-\nu} K_\nu(z) \Bigr]=(-1)^m z^{-\nu-m} K_{\nu+m}(z).
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_{\nu-1}(z)-K_{\nu+1}(z)=-2\nu z^{-1} K_\nu(z).
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~K_{\nu-1}(z)+K_{\nu+1}(z)=-2K'_\nu(z).
Вронскіан системи модифікованих функцій Бесселя
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): W\left[I_\nu(z),I_{-\nu}(z)\right]=-\frac{2\sin(\nu\pi)}{\pi z}.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): W\left[I_\nu(z),K_\nu (z)\right]=z^{-1}.
Інтегральні представлення
Модифіковані функції Бесселя першого роду
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_\nu (z)=\frac{2^{-\nu}z^\nu}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+\frac12)}\int_0^\pi e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu} dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12, \Gamma(z)
— гамма-функція.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_\nu (z)=\frac{2^{1-\nu}z^\nu}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+\frac12)}\int_0^1 (1-t^2)^{\nu-\frac12}\cosh(zt) dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_\nu (z)=\frac{2^{-\nu}z^\nu}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+\frac12)}\int_{-1}^1 (1-t^2)^{\nu-\frac12} e^{-zt} dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_n(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{z\cos t}\cos (nt)dt, \qquad n \in \mathbb Z, Re(z)>0.
Модифіковані функції Бесселя другого роду
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_\nu(z)=\int_0^\infty e^{-z\cosh t}\cosh (\nu t)dt, \qquad Re(z)>0.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_\nu (z)=\frac{\sqrt{\pi}z^\nu}{\Gamma(\nu+\frac12)}\int_1^\infty (t^2-1)^{\nu-\frac12}e^{-zt} dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12, Re(z)>0.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_\nu (z)=\frac{\sqrt{\pi}z^\nu}{\Gamma(\nu+\frac12)}\int_0^\infty e^{-z\cosh t}\left(\sinh t \right)^{2\nu} dt, \qquad Re(\nu)>-\frac12, Re(z)>0.
Асимптотична поведінка
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_\nu(z)\varpropto \frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}}\left(1+O\left(\frac{1}{z} \right) \right), \qquad \left|Arg(z)\right|<\frac{\pi}{2},\left|z\right| \to \infty.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_\nu(z)\varpropto \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z}}\left(1+O\left(\frac{1}{z} \right) \right), \qquad \left|z\right| \to \infty.
Виконала: Куян Юлія
