Перегляд вихідного коду сторінки Комбінаторні методи. Метод гілок та меж

== Комбінаторні методи ==

В основі комбінаторних методів є перебір можливих варіантів розв’язків поставленої задачі. Для розв’язування задач цілочислового програмування ефективнішим за метод Гоморі є метод гілок і меж. Спочатку, як і в разі методу Гоморі, симплексним методом розв’язується послаблена (без умов цілочисловості) за-дача. Потім вводиться правило перебору.

Нехай потрібно знайти <math>x_j</math> — цілочислову змінну, значення якої <math>x_j= x'_j</math> в оптимальному плані послабленої задачі є дробовим. Очевидно, що в деякому околі даної точки також не існує цілочислових значень, тому відповідний проміжок можна виключити з множини допустимих планів задачі в подальшому розгляді. Та-ким проміжком є інтервал між найближчими до <math>x'_j</math> цілочисловими значеннями. Можна стверджувати, що на інтервалі <math> \left [ \left [ x'_j \right ] ; \left [ x'_j \right ] + 1 \right ] </math>цілих значень немає.

Наприклад, якщо <math>x'_j = 2,7</math> дістаємо інтервал <math>\left [ 2;3 \right ]</math> , де, очевидно, немає <math>x_j</math> , яке набуває цілого значення і оптимальний розв’язок буде знаходитися або в інтервалі <math>x_j \le 2</math>, або <math>x_j \ge 3</math> Виключення проміжку <math>\left [ 2;3 \right ]</math> з множини допустимих планів здійснюється введенням до системи обмежень початкової задачі додаткових нерівностей. Тобто допустиме ціле значення <math>x_j</math> має задовольняти одну з нерівностей виду:
<math>x_j \le \left [ x'_j \right ]</math> або <math>x_j \ge \left [ x'_j \right ] +1</math>

Дописавши кожну з цих умов до задачі з послабленими обмеженнями, дістанемо дві, не пов’язані між собою, задачі. Тобто, [[Постановка_цілочислової_задачі_ЛП._Геометрична_інтерпретація | початкову задачу цілочислового програмування]] поділимо на дві задачі з урахуванням умов цілочисловості змінних, значення яких в оптимальному плані послабленої задачі є дробовими.
Це означає, що симплекс-методом розв’язуватимемо дві такі задачі:

перша задача:
<center><math> \max \,(\min )\,\,F=\sum\limits_{j=1}^n {c_{j} x_{j} }</math>   '''(1)'''</center> 
за умов:      
<center><math>\sum\limits_{j=1}^n {a_{ij} x_{j} } \left\{ {\begin{array}{l}
 \le \\ 
 = \\ 
 \ge \\ 
 \end{array}} \right\}b_{i} 
\quad
\left( {i=\overline {1,m} } \right);</math>   '''(2)'''</center> 


<center><math>
x_{j} \ge 0
\quad
\left( {j=\overline {1,n} } \right);</math>   '''(3)'''</center> 


<center> <math>\ \quad x_{j}</math> - цілі числа  <math>\left( {j=\overline {1,n} } \right);</math>   '''(4)'''</center> 

<center> <math>x_j \le  \left [ x'_j \right ] </math>   '''(5)'''</center> 

друга задача:
<center><math> \max \,(\min )\,\,F=\sum\limits_{j=1}^n {c_{j} x_{j} }</math>   '''(6)'''</center> 
за умов:      
<center><math>\sum\limits_{j=1}^n {a_{ij} x_{j} } \left\{ {\begin{array}{l}
 \le \\ 
 = \\ 
 \ge \\ 
 \end{array}} \right\}b_{i} 
\quad
\left( {i=\overline {1,m} } \right);</math>   '''(7)'''</center> 


<center><math>
x_{j} \ge 0
\quad
\left( {j=\overline {1,n} } \right);</math>   '''(8)'''</center> 


<center> <math>\ \quad x_{j}</math> - цілі числа  <math>\left( {j=\overline {1,n} } \right);</math>   '''(9)'''</center> 

<center> <math>x_j \ge  \left [ x'_j \right ] </math>   '''(10)'''</center>

де <math>x'_j</math>  — дробова компонента розв’язку початкової задачі цілочислового програмування. Наведені задачі (1)—(5) і (6)—(10) спочатку послаблюємо, тобто розв’язуємо з відкиданням обмежень (4) і (9). Якщо знайдені оптимальні плани задовольняють умови цілочисловості, то ці плани є розв’язками початкової задачі цілочислового програмування. Інакше пошук розв’язку задачі триває. Для дальшого розгалуження вибираємо розв’язок задачі з більшим значенням цільової функції, якщо йдеться про максимізацію, і навпаки — з меншим значенням цільової функції в разі її мінімізації. Подальше розгалуження виконується доти, доки не буде встановлено неможливість поліпшення розв’язку. Здобутий останній план — оптимальний.
 
Розв’язування цілочислових задач методом гілок і меж можна значно прискорити. Очевидно, що кожна наступна задача, яку отримують в процесі розв’язування відрізняється від попередньої лише одним обмеженням. Досить буде почергово приєднати нові обмеження виду (5) і (10) до останньої симплекс-таблиці попередньої задачі та вилучити (в разі необхідності) непотрібні «старі» обмеження.

Геометрично введення додаткових лінійних обмежень виду (5) та (10) в систему обмежень початкової задачі означає проведення гіперплощин (прямих), що розтинають багатогранник (багатокутник) допустимих планів відповідної задачі лінійного програмування у такий спосіб, що уможливлюється включення в план найближчої цілої точки цього багатокутника. 
<center>[[Файл:Clip_image002.gif‎]]</center> Допустимо, що А — точка максимуму, тоді за методом гілок та меж багатокутник допустимих планів задачі ABCOD поділяється на дві частини прямими <math>x'_1 = \left [ x'_1 \right ]</math> та <math>x'_1 = \left [ x'_1 \right ]+1</math>, що виключає з розгляду точку А, координата якої <math>x'_1</math> є не цілим числом.

<center>[[Файл:Combmet.png]]</center>


== Алгоритм методу гілок та меж: ==

Загальна цілочислова задача лінійного програмування записується так:

<center><math> \max \,(\min )\,\,F=\sum\limits_{j=1}^n {c_{j} x_{j} }</math>   '''(1)'''</center> 
за умов:      
<center><math>\sum\limits_{j=1}^n {a_{ij} x_{j} } \left\{ {\begin{array}{l}
 \le \\ 
 = \\ 
 \ge \\ 
 \end{array}} \right\}b_{i} 
\quad
\left( {i=\overline {1,m} } \right);</math>   '''(2)'''</center> 


<center><math>
x_{j} \ge 0
\quad
\left( {j=\overline {1,n} } \right);</math>   '''(3)'''</center> 


<center> <math>\ \quad x_{j}</math> - цілі числа  <math>\left( {j=\overline {1,n} } \right);</math>   '''(4)'''</center> 

1.	Симплексним методом розв’язують задачу (1)—(3) (без вимог цілочисловості змінних). 

Якщо серед елементів умовно-оптимального плану немає дробових чисел, то цей розв’язок є оптимальним планом задачі цілочислового програмування (1)—(4).

Якщо задача (1)—(3) не має розв’язку (цільова функція необмежена, або система обмежень несумісна), то задача (1)—(4) також не має розв’язку.

2.	Коли в умовно-оптимальному плані є дробові значення, то вибирають одну з нецілочислових змінних <math>x_i</math> і визначають її цілу частину <math> \left [ x'_i \right ]</math>

3.	Записують два обмеження, що відтинають нецілочислові розв’язки:
<center><math>x_i \le  \left [ x'_i \right ] </math> </center>
<center><math>x_i \ge  \left [ x'_i \right ] +1</math> </center>
4.	Кожну з одержаних нерівностей приєднують до обмежень початкової задачі. В результаті отримують дві нові цілочислові задачі лінійного програмування.

5.	У будь-якій послідовності розв’язують обидві задачі. 
У разі, коли отримано цілочисловий розв’язок хоча б однієї із задач, значення цільової функції цієї задачі зіставляють з початковим значенням. 
Якщо різниця не більша від заданого числа <math>\epsilon</math>, то процес розв’язування може бути закінчено. 
У разі, коли цілочисловий розв’язок одержано в обох задачах, то з розв’язком початкової зіставляється той, який дає краще значення цільової функції. 
Якщо ж в обох задачах одержано нецілочислові розв’язки, то для дальшого гілкування вибирають ту задачу, для якої здобуто краще значення цільової функції і здійснюють перехід до кроку 2.