Одноетапна Р-модель з імовірнісними обмеженнями. Постановка задачі та умови сумісності.

Будемо, як і раніше, позначати через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega

 стан природи (елементарна подія), а через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \Omega 
– множину станів природи (елементарних подій). Нехай для кожного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \omega \in  \Omega 
на деякій множині Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  X 
довільної структури задані множини   Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  G_{0}(\omega)
  (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{0} (\omega) \ne 0  

) і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{i} (\omega) i=1,\ldots,m.

Випадкові множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{i} (\omega) (i=0,1,\ldots,m)

можуть  бути задані системами рівнянь и нерівностей із випадковими параметрами або будь-яким іншим способом.

Розглянемо наступну досить загальну Р-модель х ймовірнісними обмеженнями.

Необхідно визначити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega)\in X , який максимізує ймовірність попадання в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{0}(\omega)

при умові, що ймовірність попадання в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_i (\omega, i=1,2,\ldots,m), 
не менше заданого  числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{i}

. Таким чином, в самій постановці задачі ми припускаємо, що розв’язок знаходиться у вигляді випадкового вектора і розв’язувальне правило заздалегідь не задано.

Формально задача записується в наступному вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\left \{ x(\omega) \in G_{0} (\omega)\right \} \to sup

(15.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\left \{ x(\omega) \in G_{i} (\omega) \right \} \ge \alpha_{i},i=1,2,\ldots,m.

                  (15.2)

Введемо характеристичні функції множин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_i (\omega)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \psi_{i}(\omega, x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if } x \in G_{i} (\omega) \\ 0, & \mbox{if } x \notin G_{i} (\omega) \end{cases}

Тоді
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\left \{ x(\omega) \in G_{i} (\omega) \right \} = \int_{ \Omega}\psi_{i}(\omega, x(\omega))dp

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p

 - ймовірнісна міра, яка визначає ймовірнісний простір Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  (\Omega,\sum, p) 
. Будемо, як і раніше, припускати, що міра Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  p 
неперервна.

Задача (15.1) - (15.2) набуває вигляду:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_{ \Omega}\psi_{0}(\omega, x )dp \to sup ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_{ \Omega}\psi_{i}(\omega, x )dp \ge \alpha_{i},i=1,2,\ldots,m.

Принципова схема рішення не залежить від числа обмежень завдання. Однак зі збільшенням m трудомісткість обчислень дуже швидко зростає. Тому всі наступні міркування проводяться для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m = 2.

15.2. Сформулюємо умови сумісності задачі (15.1) - (15.2). Введемо два множини
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega' = \left \{ \omega: G_{1} (\omega)\cap G_{2} (\omega)\ne \emptyset \right \} ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega'' = \left \{ \omega: G_{1} (\omega)\cap G_{2} (\omega)= \emptyset \right \} .

Теорема 15.1. Для того, сумісності задачі (15.1)- (15.2) при (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m=2 ) необхідно і достатньо, щоб
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases} \alpha_{1}\le 1, \alpha_{2} \le 1 \\ \alpha_{1}+ \alpha_{2} =P \Omega' \le 2 \end{cases}

Доведення. а) Необхідність. Перші два нерівності очевидні. Перевіримо останнє. Нехай задача (15.1) - (15.2) сумісна, тобто для деякої функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega)

 виконані умови (15.2). Тоді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\left \{ x \in G_{i} \right \}=P\left \{ x \in G_{i}\setminus G_{j} \right \} +P\left \{ x \in G_{1}\cap G_{2} \right \};(i,j=1,2;i \ne j)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le P \left \{ x \in G_{1} \right \} + P \left \{ x \in G_{2} \right \} + P \Omega'' = P \left \{ x \in G_{1} \setminus G_{2} \right \} + P \left \{ x \in G_{1} \cap G_{2} \right \}+ P \left \{ x \in G_{2} \setminus G_{1} \right \}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): +P \left \{ x \in G_{1} \cap G_{2} \right \}+P \left \{ G_{1} \cap G_{2}= \emptyset \right \}

Події, що відповідають першим трьом складовим, попарно несумісні. Те ж відноситься до подій, відповідним останнім двом подіям. Тому
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le 2 .

б) Достатність. Нехай виконані умови теореми
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le 2(P \Omega'+P \Omega'')

або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\alpha_{1} - P \Omega')+(\alpha_{2} - P \Omega') \le P \Omega'',

тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega''

можна розбити на дві множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \Omega''_{1}
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega''_{2}
таким чином, щоб Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{1}-P \Omega' \le  P \Omega''_{i},i=1,2.
Функція

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega) = \begin{cases} G_{1}(\omega)\cap G_{2}(\omega), \omega \in \Omega' \\ G_{1}(\omega), \omega \in \Omega''_{1} \\ G_{2}(\omega), \omega \in \Omega''_{2} \end{cases}

задовольняє умовам (15.2) розглядуваної задачі.

Список використаних джерел

1. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. / Юдин Д. Б. М: «Сов. радио», 1974. – 400 с.

Виконала: Боженко Альбіна
Редагувала: Неділько Аліна