Задача СП з апріорними розв’язувальними розподілами. Зведення до розв’язку задачі скінченно-вимірного нелінійного програмування.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.1)\;M\psi_{0}(x)=\int\psi_{0}(x)dF_{x}\rightarrow inf,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.2)\;M\psi_{i}(x)=\int\psi_{i}(x)dF_{x}\leq 0,\;i=1,2,..,m,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.3)\;x\in X,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.4)\;M\psi_0(\omega,x)=\int\limits_{X\times\Omega}\psi_0(\omega,x)dF_xdF_{\omega}\rightarrow inf,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.5)\;M\psi_i(\omega,x)=\int\limits_{X\times\Omega}\psi_i(\omega,x)dF_xdF_{\omega}\leq 0,\;i=1,..,m,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.6)\;x\in X,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.7)\;M\psi_0(\omega,x)=\int\limits_{X\times\Omega}\psi_0(\omega,x)dF_{x|\omega}dF_{\omega}\rightarrow inf,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.8)\;M\psi_i(\omega,x)=\int\limits_{X\times\Omega}\psi_i(\omega,x)dF_{x|\omega}dF_{\omega}\leq 0,\;i=1,..,m,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.9)\;x\in X.

3.3. Визначення апріорних розв'язувальних розподілів задач другого класу - стохастичних задач виду (3.4) - (3.6) може бути аналогічним чином зведено до розв'язку задач скінчено-вимірного нелінійного програмування.

Введемо наступне позначення:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.17)\;\int\limits_{\Omega}\overline{\psi_i}(\omega,x)dF_{\omega}=\overline{\psi_i}(x),\;i=0,1,...,m.

В цих позначеннях задача (3.4) - (3.6) зводиться до задачі виду (3.1) - (3.3).

Повторюючи міркування попереднього пункту, прийдемо до висновку, що обчислення апріорних розв'язувальних розподілів задачі (3.4) - (3.6) еквівалентно розв'язку наступної скінчено-вимірної задачі математичного програмування.

Вимагається обчислити вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_k

і числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_k

, які визначають нижню грань функціонала:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.18)\;{\sum^{m}_{k=0}\overline{\psi_{0}}(x_k)p_{k}},

за умови

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.19)\;{\sum^{m}_{k=0}\overline{\psi_{i}}(x_{k})p_{k}}\le 0,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.20)\;x_{k}\in X,p_{k}\ge 0,k = 0,1,...m,\sum^{m}_{k=0} p_{k}=1.

Оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^\ast_{k} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p^\ast_{k} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k=0,1,...,m,

задачі (3.18) - (3.20) визначає дискретний розв'язувальний розподіл задачі (3.4) - (3.6).

У випадку, коли множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X

складається із скінченного числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): s
точок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_1,...,x_s

, обчислення розв'язувального розподілу зводиться до розв'язку задачі лінійного програмування:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.21)\;{\sum^{s}_{k=1}\overline\psi_{0}(x_{k})p_{k}}\rightarrow min,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.22)\;{\sum^{s}_{k=1}\overline\psi_{i}x_{k}p_{k}\le 0,\;i = 1,...m},

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.23)\;\sum^{s}_{k=1}p_{k}=1,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (3.24)\;p_{k}\ge 0,k = 1,...s.

Крім умов невід'ємності змінних задача має Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m+1

обмеження. Тому оптимальний план задачі (3.21) - (3.24) містить не більше  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m+1
додатних значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_{k}

. Величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p^\ast_{k}>0

і відповідні їм вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^\ast_{k}
визначають апріорний дискретний розв'язувальний розподіл розглянутої задачі. Приведені нижче міркування справедливі і для множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X

, що складається зі зліченого числа точок. Цей же принцип може бути використаний для наближення апріорного розвязувального розподілу у випадку, коли множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X

являє собою компакт. Дискретне значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_k
відповідає вузлам Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varepsilon

-мережі множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X .

3.4. Обчислення апостеріорних розв'язувальних правил стохастичної задачі (3.7) - (3.9) в загальному випадку пов'язано зі значними труднощами. Однак у випадку, коли простір Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega

елементарних подій складається зі скінченого числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (r)
елементів, ймовірність яких задана, розв'язок спрощується. Побудова опуклої оболонки множини

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y=\left \{y_i=\psi_i(\omega,x),\;i=0,1,...,m,\;x\in X \right \},

можна уявити у вигляді двоетапної операції. На початку будуються опуклі оболонки множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y

при фіксованих значеннях Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega

, а потім у відповідності з дискретною ймовірнісною мірою на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega

визначається опукла комбінація множин, побудованих на першому етапі. Ясно, що отримане в результаті зазначених побудов множина опукла.

Обмеженням (3.8) відповідають обмеження на елементи цієї множини. Задача (3.7) - (3.9) зводиться в цьому випадку, як і задача (3.1) - (3.З) і (3.4) - (3.6), до кінцево-мірної задачі нелінійного програмування. Розв’язок цієї задачі (вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^\ast_{k},k=1,...,(m+1)r , і спільні ймовірності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p^\ast_{kl}

використання Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^\ast_{k}
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega_l,l=1,..,r

) визначають дискретний апостеріорний розв’язувальний розподіл задачі (3.7) - (3.9). Ці ж міркування можуть бути використані для побудови наближених апостеріорних розв’язувальних розподілів у випадках, коли множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega
компактні.

З наведених міркувань видно, що, якщо функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \psi_i(\omega,x),i=0,1,...,m,

опуклі по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
при кожному Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega

, то оптимальний розв’язувальний розподіл не дозволяє поліпшити цільовий функціонал в порівнянні з оптимальним розв’язувальним правилом. Чисті стратегії дозволяють в цьому випадку отримати той же ефект, що і мішані стратегії. Ясно, що цей висновок справедливий і в тому випадку, коли Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega

не є дискретною множиною. У Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \S
5 буде доведено результат, відповідно до якого при неперервній мірі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{\omega}
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega
можна, не погіршуючи якості розв’язку задачі (3.7) - (3.9) і не вимагаючи опуклості Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \psi_i(\omega,x),i=0,1,...,m,
при кожному Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega

, замінити апостеріорні розв’язувальні розподіли на апостеріорні розв’язувальні правила.

Було отримано умови оптимальності для задач виду (3.7) - (3.9). Вони дозволяють побудувати методи обчислення апостеріорних розв’язувальних розподілів для стохастичних задач загального вигляду. При заданому розподілі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{\omega}

розв’язувальні розподіли можуть бути побудовані за допомогою методів, узагальнюючих методи можливих напрямків. У випадках, коли можна спостерігати реалізацію Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega

, для побудови апостеріорних розв’язувальних розподілів пропонуються ітеративні обчислювальні схеми, узагальнюючі методи стохастичної апроксимації.

Виконала: Юрченко Тетяна Сергіївна

Доповнювала: Татьяненко Марина Олександрівна