Відмінності між версіями «Теорема про диференціювання»
Матеріал з Вікі ЦДУ
(→Теорема про диференціювання) |
(→Теорема про диференціювання) |
||
| Рядок 12: | Рядок 12: | ||
Доведення : | Доведення : | ||
| − | Формулу для | + | Формулу для n-тої похідної доведемо методом математичної індукції: |
: <math>~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt) | : <math>~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt) | ||
={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt | ={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt | ||
={-i\alpha}F(\alpha).</math> | ={-i\alpha}F(\alpha).</math> | ||
Версія за 12:25, 20 травня 2010
Теорема про диференціювання
- Преобразование Фурье и дифференцирование. Если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f,\;f'\in L_1(\R)
, то
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.
Из этой формулы легко выводится формула для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n -й производной:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.
Формулы верны и в случае обобщённых функций.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = {-i\alpha}F(\alpha).
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).
Доведення :
Формулу для n-тої похідної доведемо методом математичної індукції:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt) ={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt ={-i\alpha}F(\alpha).
