Відмінності між версіями «Теорема про диференціювання»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(Теорема про диференціювання)
(Теорема про диференціювання)
Рядок 14: Рядок 14:
 
Формулу для , n похідної доведення методом математичної індукції
 
Формулу для , n похідної доведення методом математичної індукції
  
: <math>~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(x)|limits_{-\infty}^{\infty}.</math>
+
: <math>~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt)={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt={-i\alpha}F(\alpha).</math>

Версія за 12:23, 20 травня 2010

Теорема про диференціювання

  • Преобразование Фурье и дифференцирование. Если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f,\;f'\in L_1(\R)

, то

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.

Из этой формулы легко выводится формула для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n -й производной:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.

Формулы верны и в случае обобщённых функций.


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = {-i\alpha}F(\alpha).
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F {(f^{(n)}(x))} = ({-i\alpha})^nF(\alpha).

Доведення :

Формулу для , n похідної доведення методом математичної індукції

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F (f'(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{it\alpha}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{it\alpha}f(t)\Bigr|_{-\infty}^{\infty}-{i\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt)={-i\alpha} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{it\alpha}\,dt={-i\alpha}F(\alpha).