Відмінності між версіями «Розв’язок рівняння Беселя. Функції Беселя першого роду»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
Рядок 8: Рядок 8:
 
Хоча <math>\alpha</math> и <math>(-\alpha)</math> породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по <math>\alpha</math> ).
 
Хоча <math>\alpha</math> и <math>(-\alpha)</math> породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по <math>\alpha</math> ).
  
Функції Бесселя вперше були визначені [[Швейцарія | швейцарським]] математиком [http://ru.wikipedia.org/wiki/Бернулли,_Даниил Даніелем Бернуллі], а названі на честь [http://ru.wikipedia.org/wiki/Бессель,_Фридрих_Вильгельм Фрідріха Бесселя].
+
Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком [http://ru.wikipedia.org/wiki/Бернулли,_Даниил Даніелем Бернуллі], а названі на честь [http://ru.wikipedia.org/wiki/Бессель,_Фридрих_Вильгельм Фрідріха Бесселя].
  
 
== Застосування ==  
 
== Застосування ==  
Рядок 19: Рядок 19:
  
 
== Визначення ==  
 
== Визначення ==  
Оскільки наведене рівняння є рівнянням другого порядку, у нього має бути два [[лінійна залежність | лінійно незалежних]] рішення. Проте залежно від обставин вибираються різні визначення цих рішень. Нижче наведені деякі з них.
+
Оскільки наведене рівняння є рівнянням другого порядку, у нього має бути два лінійно незалежних рішення. Проте залежно від обставин вибираються різні визначення цих рішень. Нижче наведені деякі з них.
  
 
=== Функції Бесселя першого роду ===
 
=== Функції Бесселя першого роду ===
Функціями Бесселя першого роду, які позначаються <math>J_\alpha(x)</math>, є розв'язки, скінченні в точці <math>x=0</math> при цілих або невід'ємних <math>\alpha</math>. Вибір конкретної функції і її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладу в [http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора ряд Тейлора] в околі нуля (або в більш загальний [[степеневий ряд]] при нецілих <math>\alpha</math>):
+
Функціями Бесселя першого роду, які позначаються <math>J_\alpha(x)</math>, є розв'язки, скінченні в точці <math>x=0</math> при цілих або невід'ємних <math>\alpha</math>. Вибір конкретної функції і її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладу в [http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора ряд Тейлора] в околі нуля (або в більш загальний степеневий ряд при нецілих <math>\alpha</math>):
 
: <math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>
 
: <math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>
Тут <math>\Gamma(z)</math> - Це [[гамма-функція Ейлера]], узагальнення [[факторіал]]а на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на [[синус (функція) | синусоїду]], коливання якої затухають пропорційно <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math>, хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.
+
Тут <math>\Gamma(z)</math> - Це гамма-функція Ейлера, узагальнення факторіала на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на синусоїду, коливання якої затухають пропорційно <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math>, хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.
  
 
Нижче наведені графіки <math>J_\alpha (x)</math> для <math>\alpha = 0, 1, 2</math>:
 
Нижче наведені графіки <math>J_\alpha (x)</math> для <math>\alpha = 0, 1, 2</math>:

Поточна версія на 18:02, 20 травня 2010

Функції Бесселя в математиці - сім'я функцій, які є канонічними розв'язками диференціального рівняння Бесселя:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,


де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha  — довільне дійсне число, яке називається порядком.

Найбільш часто використовуються функції Бесселя цілих порядків.

Хоча Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (-\alpha)
породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha
).

Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком Даніелем Бернуллі, а названі на честь Фрідріха Бесселя.

Застосування

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження розв'язків рівняння Лапласа та рівняння Гельмгольца в циліндричних та сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при розв'язаніі багатьох задач про поширення хвиль, статичних потенціалах і т. п., наприклад:

  • теплопровідність в циліндричних об'єктах;
  • Форми коливання тонкої круглої мембрани
  • Швидкість частинок в циліндрі, заповненому рідиною і який обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і в рішенні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.

Визначення

Оскільки наведене рівняння є рівнянням другого порядку, у нього має бути два лінійно незалежних рішення. Проте залежно від обставин вибираються різні визначення цих рішень. Нижче наведені деякі з них.

Функції Бесселя першого роду

Функціями Бесселя першого роду, які позначаються Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha(x) , є розв'язки, скінченні в точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x=0

при цілих або невід'ємних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha

. Вибір конкретної функції і її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладу в ряд Тейлора в околі нуля (або в більш загальний степеневий ряд при нецілих Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha ):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}

Тут Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Gamma(z)

- Це гамма-функція Ейлера, узагальнення факторіала на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на синусоїду, коливання якої затухають пропорційно Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{\sqrt{x}}

, хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.

Нижче наведені графіки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha (x)

для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha = 0, 1, 2
График функции Бесселя первого рода J

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha

не є цілим числом, функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha (x)
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_{-\alpha} (x)
лінійно незалежні і, отже, є рішеннями рівняння. Але якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha
ціле, то вірно наступне співвідношення:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,


Воно означає, що в цьому випадку функції лінійно залежні. Тоді другим рішенням рівняння стане функція Бесселя другого роду.

Інтеграли Бесселя

Можна дати інше визначення функції Бесселя для цілих значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha , використовуючи інтегральне представлення:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau


Цей підхід використовував Бесселя, вивчивши з його допомогою деякі властивості функцій. Можливо і інше інтегральне представлення:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\,d\tau



Виконала: Щирська Світлана