Оператори набла та дельта, градієнт, ротор і дивергенція в криволінійних системах координат.

В криволінійних системах координат справедливі співвідношення:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\vec\nabla

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): grad{f}=\vec\nabla{f}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div{\vec{a}}={\vec\nabla}\cdot{\vec{a}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): rot{\vec{a}}={\vec\nabla}\times{\vec{a}}

Циліндрична система координат Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\rho,\varphi,z)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{cases}{x=\rho{\cos\varphi}}&\\{y=\rho{\sin\varphi}}&\\{z=z}\end{cases}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec\nabla={\partial\over\partial\rho}{\vec{i}_{\rho}}+{\frac{1}{\rho}}{\partial\over\partial\varphi}{\vec{i}_{\varphi}}+{\partial\over\partial{z}}{\vec{i}_{z}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a=(a_{\rho},a_{\varphi},a_{z})

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): grad{f}=\vec\nabla{f}={\partial{f}\over\partial\rho}{\vec{i}_{\rho}}+{\frac{1}{\rho}}{\partial{f}\over\partial\varphi}{\vec{i}_{\varphi}}+{\partial{f}\over\partial{z}}{\vec{i}_{z}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div{\vec{a}}={\vec\nabla}\cdot{\vec{a}}={\frac{1}{\rho}}{\partial({\rho{a_{\rho}}})\over\partial\rho}+{\frac{1}{\rho}}{\partial{a_\varphi}\over\partial\varphi}+{\partial{a_z}\over\partial{z}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): rot{\vec{a}}={\vec\nabla}\times{\vec{a}}=({\frac{1}{\rho}}{\partial{a_{z}}\over\partial\varphi}-{\partial{a_{\varphi}}\over\partial{z}}){\vec{i}_{\rho}}+({\partial{a_{\rho}}\over\partial{z}}-{\partial{a_z}\over\partial{\varphi}}){\vec{i}_{\varphi}}+{\frac{1}{\rho}}({\partial(\rho{a_{z}})\over\partial\rho}-{\partial{a_{\rho}}\over\partial{\varphi}}){\vec{i}_{z}})

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\vec\nabla={\frac{1}{\rho}}{\partial\over\partial\rho}(\rho{\partial{f}\over\partial{z}})+{\frac{1}{\rho}^2}{\partial^2{f}\over\partial\varphi^2}+{\partial^2{f}\over\partial{z}^2}

Сферична система координат

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{cases}{x={r\sin\theta}{\cos\varphi}}&\\{y={r\sin\theta}{\sin\varphi}}&\\{z=r\cos\theta}\end{cases}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec\nabla={\partial\over\partial{r}}{\vec{i}_{r}}+{\frac{1}{r}}{\partial\over\partial\theta}{\vec{i}_{\theta}}+{\frac{1}{r\sin\theta}}{\partial\over\partial{\varphi}}{\vec{i}_{\varphi}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): grad{f}=\vec\nabla{f}= \frac{\partial{f}}{\partial{r}}\vec{i}_{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial{f}}{\partial\theta}\vec{e}_{\theta}+{\frac{1}{r\sin\theta}}\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\vec{i}_{\varphi}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div{\vec{a}}={\vec\nabla}\cdot{\vec{a}}={\frac{1}{r^2}}{\partial({r^2}{a_{r}})\over\partial{r}}+{\frac{1}{r\sin\theta}}{\partial({a_\theta}\sin\theta)\over\partial\theta}+{\frac{1}{r\sin\theta}}{\partial{a_\varphi}\over\partial{\varphi}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\vec\nabla

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): rot{\vec{a}}={\vec\nabla}\times{\vec{a}}

Зауваження: скалярний оператор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta

може бути застосований не тільки до скалярних функцій, а й до векторів. 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta\vec{a}=\vec\nabla\cdot({\vec\nabla}\cdot{\vec{a}})=\vec\nabla\times({\vec\nabla}\times{\vec{a}})