Відмінності між версіями «Оператори набла та дельта, градієнт, ротор і дивергенція в криволінійних системах координат.»
(Створена сторінка: category: Вибрані статті з математичного аналізу) |
|||
| (не показано одну проміжну версію цього учасника) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| + | В криволінійних системах координат справедливі співвідношення: | ||
| + | |||
| + | <math>\Delta=\vec\nabla</math> | ||
| + | |||
| + | <math>grad{f}=\vec\nabla{f}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>div{\vec{a}}={\vec\nabla}\cdot{\vec{a}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>rot{\vec{a}}={\vec\nabla}\times{\vec{a}}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Циліндрична система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> == | ||
| + | |||
| + | [[Файл:Мпапупкцупк.jpg|300px|thumb|Циліндрична с.к.]] | ||
| + | |||
| + | <math>{\begin{cases}{x=\rho{\cos\varphi}}&\\{y=\rho{\sin\varphi}}&\\{z=z}\end{cases}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\vec\nabla={\partial\over\partial\rho}{\vec{i}_{\rho}}+{\frac{1}{\rho}}{\partial\over\partial\varphi}{\vec{i}_{\varphi}}+{\partial\over\partial{z}}{\vec{i}_{z}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>a=(a_{\rho},a_{\varphi},a_{z})</math> | ||
| + | |||
| + | <math>grad{f}=\vec\nabla{f}={\partial{f}\over\partial\rho}{\vec{i}_{\rho}}+{\frac{1}{\rho}}{\partial{f}\over\partial\varphi}{\vec{i}_{\varphi}}+{\partial{f}\over\partial{z}}{\vec{i}_{z}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>div{\vec{a}}={\vec\nabla}\cdot{\vec{a}}={\frac{1}{\rho}}{\partial({\rho{a_{\rho}}})\over\partial\rho}+{\frac{1}{\rho}}{\partial{a_\varphi}\over\partial\varphi}+{\partial{a_z}\over\partial{z}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>rot{\vec{a}}={\vec\nabla}\times{\vec{a}}={\frac{1}{\rho}}({\partial{a_{z}}\over\partial\varphi}-{\partial{a_{\varphi}}\over\partial{z}}){\vec{i}_{\rho}}+({\partial{a_{\rho}}\over\partial{z}}-{\partial{a_z}\over\partial{\rho}}){\vec{i}_{\varphi}}+{\frac{1}{\rho}}({\partial(\rho{a_{z}})\over\partial\rho}-{\partial{a_{\rho}}\over\partial{\varphi}}){\vec{i}_{z}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\Delta=\vec\nabla={\frac{1}{\rho}}{\partial\over\partial\rho}(\rho{\partial{f}\over\partial{z}})+{\frac{1}{\rho^2}}{\partial^2{f}\over\partial\varphi^2}+{\partial^2{f}\over\partial{z}^2}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Сферична система координат == | ||
| + | |||
| + | [[Файл:Безымяееууукцукнный.jpg|300px|thumb|Сферична с.к.]] | ||
| + | |||
| + | <math>{\begin{cases}{x={r\sin\theta}{\cos\varphi}}&\\{y={r\sin\theta}{\sin\varphi}}&\\{z=r\cos\theta}\end{cases}}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>\vec\nabla={\partial\over\partial{r}}{\vec{i}_{r}}+{\frac{1}{r}}{\partial\over\partial\theta}{\vec{i}_{\theta}}+{\frac{1}{r\sin\theta}}{\partial\over\partial{\varphi}}{\vec{i}_{\varphi}}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>grad{f}=\vec\nabla{f}= \frac{\partial{f}}{\partial{r}}\vec{i}_{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial{f}}{\partial\theta}\vec{e}_{\theta}+{\frac{1}{r\sin\theta}}\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\vec{i}_{\varphi}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>div{\vec{a}}={\vec\nabla}\cdot{\vec{a}}={\frac{1}{r^2}}{\partial({r^2}{a_{r}})\over\partial{r}}+{\frac{1}{r\sin\theta}}{\partial({a_\theta}\sin\theta)\over\partial\theta}+{\frac{1}{r\sin\theta}}{\partial{a_\varphi}\over\partial{\varphi}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>rot{\vec{a}}={\vec\nabla}\times{\vec{a}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\Delta=\vec\nabla</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | :'''Зауваження''': скалярний оператор <math>\Delta</math> може бути застосований не тільки до скалярних функцій, а й до векторів. | ||
| + | <math>\Delta\vec{a}=\vec\nabla\cdot({\vec\nabla}\cdot{\vec{a}})=\vec\nabla\times({\vec\nabla}\times{\vec{a}})</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Виконав:[[Користувач:Ігор Бобир|Бобир Ігор]] | ||
| + | |||
[[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] | [[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] | ||
Поточна версія на 18:58, 20 травня 2010
В криволінійних системах координат справедливі співвідношення:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\vec\nabla
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): grad{f}=\vec\nabla{f}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div{\vec{a}}={\vec\nabla}\cdot{\vec{a}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): rot{\vec{a}}={\vec\nabla}\times{\vec{a}}
Циліндрична система координат Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\rho,\varphi,z)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{cases}{x=\rho{\cos\varphi}}&\\{y=\rho{\sin\varphi}}&\\{z=z}\end{cases}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec\nabla={\partial\over\partial\rho}{\vec{i}_{\rho}}+{\frac{1}{\rho}}{\partial\over\partial\varphi}{\vec{i}_{\varphi}}+{\partial\over\partial{z}}{\vec{i}_{z}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a=(a_{\rho},a_{\varphi},a_{z})
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): grad{f}=\vec\nabla{f}={\partial{f}\over\partial\rho}{\vec{i}_{\rho}}+{\frac{1}{\rho}}{\partial{f}\over\partial\varphi}{\vec{i}_{\varphi}}+{\partial{f}\over\partial{z}}{\vec{i}_{z}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div{\vec{a}}={\vec\nabla}\cdot{\vec{a}}={\frac{1}{\rho}}{\partial({\rho{a_{\rho}}})\over\partial\rho}+{\frac{1}{\rho}}{\partial{a_\varphi}\over\partial\varphi}+{\partial{a_z}\over\partial{z}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): rot{\vec{a}}={\vec\nabla}\times{\vec{a}}={\frac{1}{\rho}}({\partial{a_{z}}\over\partial\varphi}-{\partial{a_{\varphi}}\over\partial{z}}){\vec{i}_{\rho}}+({\partial{a_{\rho}}\over\partial{z}}-{\partial{a_z}\over\partial{\rho}}){\vec{i}_{\varphi}}+{\frac{1}{\rho}}({\partial(\rho{a_{z}})\over\partial\rho}-{\partial{a_{\rho}}\over\partial{\varphi}}){\vec{i}_{z}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\vec\nabla={\frac{1}{\rho}}{\partial\over\partial\rho}(\rho{\partial{f}\over\partial{z}})+{\frac{1}{\rho^2}}{\partial^2{f}\over\partial\varphi^2}+{\partial^2{f}\over\partial{z}^2}
Сферична система координат
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\begin{cases}{x={r\sin\theta}{\cos\varphi}}&\\{y={r\sin\theta}{\sin\varphi}}&\\{z=r\cos\theta}\end{cases}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec\nabla={\partial\over\partial{r}}{\vec{i}_{r}}+{\frac{1}{r}}{\partial\over\partial\theta}{\vec{i}_{\theta}}+{\frac{1}{r\sin\theta}}{\partial\over\partial{\varphi}}{\vec{i}_{\varphi}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): grad{f}=\vec\nabla{f}= \frac{\partial{f}}{\partial{r}}\vec{i}_{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial{f}}{\partial\theta}\vec{e}_{\theta}+{\frac{1}{r\sin\theta}}\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\vec{i}_{\varphi}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div{\vec{a}}={\vec\nabla}\cdot{\vec{a}}={\frac{1}{r^2}}{\partial({r^2}{a_{r}})\over\partial{r}}+{\frac{1}{r\sin\theta}}{\partial({a_\theta}\sin\theta)\over\partial\theta}+{\frac{1}{r\sin\theta}}{\partial{a_\varphi}\over\partial{\varphi}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): rot{\vec{a}}={\vec\nabla}\times{\vec{a}}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\vec\nabla
- Зауваження: скалярний оператор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta
може бути застосований не тільки до скалярних функцій, а й до векторів.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta\vec{a}=\vec\nabla\cdot({\vec\nabla}\cdot{\vec{a}})=\vec\nabla\times({\vec\nabla}\times{\vec{a}})
Виконав:Бобир Ігор
