Відмінності між версіями «Одноетапна Р-модель з імовірнісними обмеженнями. Алгоритм побудови розв’язувального правила. Приклад.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
(Створена сторінка: Позначимо через <math> \omega </math> стан природи (елементарну подію), а через <math> \Omega </math> ‒ множ...)
 
Рядок 1: Рядок 1:
 
Позначимо через <math> \omega </math> стан природи (елементарну подію), а через  <math> \Omega </math> ‒ множину станів природи (елементарних подій). Нехай для кожного <math> \omega \in \Omega </math>  на деякій множині Х задані множини <math> G_0 (\omega), (G_0(\omega)\ne X) </math> i <math> G_i (\omega), (i=1,2,...,m) </math>
 
Позначимо через <math> \omega </math> стан природи (елементарну подію), а через  <math> \Omega </math> ‒ множину станів природи (елементарних подій). Нехай для кожного <math> \omega \in \Omega </math>  на деякій множині Х задані множини <math> G_0 (\omega), (G_0(\omega)\ne X) </math> i <math> G_i (\omega), (i=1,2,...,m) </math>
 +
 +
Розглянемо наступну загальну Р-модель з ймовірнісними умовами.
 +
 +
Потрібно визначити <math> x(\omega)\in X </math>,що максимізує ймовірність попадання в <math> G_0(\omega)</math> умов, що ймовірність попадання в <math> G_i(\omega)</math> не менша заданого числа <math>\alpha_i</math>. Таким чином, розв'язок визначається у вигляді випадкового вектора і розв'язуване правило заздалегідь не задане.
 +
 +
Формально задача записується у наступному вигляді:
 +
 +
<math> P{x(\omega)\in G_0(\omega)}\rightarrow sup,</math>      (4.1)
 +
 +
<math> P{x(\omega)\in G_i(\omega)}\ge\alpha_i,i=1,2,...,m</math>    (4.2)
 +
 +
Введемо характеристичні функції множин <math> G_i (\omega)</math>:
 +
 +
<math>  \psi_i (\omega,x)= \begin{cases}1, x\in G_i(\omega),\\ 0, x \ne G_i(\omega),\\ i=1,2,...,m \end{cases} </math>
 +
 +
Тоді:
 +
 +
<math> P{x(\omega)\in G_i(\omega)}=\int\limits_\Omega \psi_i(\omega,x(\omega)) dp ,</math>
 +
 +
Де р‒ ймовірнісна міра, що визначає ймовірнісний простір <math> ( \Omega,\Sigma , p  ).</math>  Нехай міра р неперервна.
 +
Задача (4.1)-(4.2) прийме вигляд:
 +
 +
<math> \int\limits_\Omega \psi_0(\omega,x) dp \rightarrow sup,</math>
 +
 +
<math> \int\limits_\Omega \psi_i(\omega,x) dp\ge\alpha_i,i=1,2,...,m </math>
 +
 +
Візьмемо m=2.
 +
Сформулюємо умови сумісності задачі (4.1)-(4.2). Введемо 2 множини:
 +
 +
<math> \Omega ' = {\omega:G_1(\omega)\cap G_2(\omega)\ne \varnothing}</math>,  <math> \Omega '' = {\omega:G_1(\omega)\cap G_2(\omega)= \varnothing}</math>.
 +
 +
'''Теорема 4.1.''' Для сумісності задачі (4.1)-(4.2) (при m=2) необхідно і достатньо, щоб:
 +
 +
<math>  \begin{cases}\ \alpha_1 \le 1, \alpha_2 \le 1,\\ \alpha_1+\alpha_2+P\Omega '' \le 2  \end{cases} </math>

Версія за 19:45, 3 квітня 2013

Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega 

стан природи (елементарну подію), а через  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \Omega 
‒ множину станів природи (елементарних подій). Нехай для кожного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \omega \in \Omega 
 на деякій множині Х задані множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  G_0 (\omega), (G_0(\omega)\ne X) 
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  G_i (\omega), (i=1,2,...,m)


Розглянемо наступну загальну Р-модель з ймовірнісними умовами.

Потрібно визначити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega)\in X ,що максимізує ймовірність попадання в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_0(\omega) 

умов, що ймовірність попадання в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  G_i(\omega)
не менша заданого числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_i

. Таким чином, розв'язок визначається у вигляді випадкового вектора і розв'язуване правило заздалегідь не задане.

Формально задача записується у наступному вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P{x(\omega)\in G_0(\omega)}\rightarrow sup, 

      (4.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P{x(\omega)\in G_i(\omega)}\ge\alpha_i,i=1,2,...,m 

   (4.2)

Введемо характеристичні функції множин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_i (\omega)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \psi_i (\omega,x)= \begin{cases}1, x\in G_i(\omega),\\ 0, x \ne G_i(\omega),\\ i=1,2,...,m \end{cases}


Тоді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P{x(\omega)\in G_i(\omega)}=\int\limits_\Omega \psi_i(\omega,x(\omega)) dp ,


Де р‒ ймовірнісна міра, що визначає ймовірнісний простір Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ( \Omega,\Sigma , p ). 

 Нехай міра р неперервна.

Задача (4.1)-(4.2) прийме вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_\Omega \psi_0(\omega,x) dp \rightarrow sup,


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_\Omega \psi_i(\omega,x) dp\ge\alpha_i,i=1,2,...,m


Візьмемо m=2. Сформулюємо умови сумісності задачі (4.1)-(4.2). Введемо 2 множини:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega ' = {\omega:G_1(\omega)\cap G_2(\omega)\ne \varnothing} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega '' = {\omega:G_1(\omega)\cap G_2(\omega)= \varnothing} .

Теорема 4.1. Для сумісності задачі (4.1)-(4.2) (при m=2) необхідно і достатньо, щоб:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases}\ \alpha_1 \le 1, \alpha_2 \le 1,\\ \alpha_1+\alpha_2+P\Omega '' \le 2 \end{cases}

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Одноетапна_Р-модель_з_імовірнісними_обмеженнями._Алгоритм_побудови_розв’язувального_правила._Приклад.&oldid=92758