Відмінності між версіями «Область визначення двохетапної задачі з випадковим вектором обмежень.»
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | Розглянемо двоетапну задачу стохастичного програмування: | + | <font size=3> Розглянемо двоетапну задачу стохастичного програмування: </font> |
| − | <math> \min_x m_{\ | + | <font size=3> <math> \min_x m_{\omega}\{cx+P(x,A,b)\} </math> </font> |
| − | <math> A^{(1)}x=b^{(1)} </math> | + | <font size=3> <math> A^{(1)}x=b^{(1)} </math> </font> |
| − | <math> x \geqslant 0 </math> | + | <font size=3> <math> x \geqslant 0 </math> </font> |
| − | Нехай випадковими є тільки складові вектора обмежень b. Всі інші параметри умов задачі – детерміновані. | + | <font size=3> Нехай випадковими є тільки складові вектора обмежень <math> b </math>. Всі інші параметри умов задачі – детерміновані. </font> |
| − | Єдине припущення, з яким ми пов’язуємо вибір випадкового вектора <math>b(\omega)</math>, | + | <font size=3> Єдине припущення, з яким ми пов’язуємо вибір випадкового вектора <math>b(\omega)</math>, полягає в тому, що його розподіл не повинен залежати від вибору попереднього плану <math> x </math>. </font> |
| − | Згідно раніше розглянутої теореми, для загальної | + | <font size=3> Згідно раніше розглянутої теореми [[Область визначення планів першого етапу.|(2.2)]], для загальної двохетапної задачі множина <math> K </math> попередніх планів – опукла. Для розглянутого часткового випадку можна довести більш сильне твердження. Виявляється, що в цьому випадку множина <math> K </math> не тільки опукла, але й багатогранна. Більше того, можна явно записати систему лінійних нерівностей, що визначають множину <math> K </math>. </font> |
| − | Нагадаємо деякі поняття, що необхідні для наступних побудов. | + | <font size=3> Нагадаємо деякі поняття, що необхідні для наступних побудов. </font> |
| − | Як відомо, опуклий багатогранний Конус | + | <font size=3> Як відомо, опуклий багатогранний Конус <math> C </math> може бути представлений або як невід’ємна комбінація скінченного числа векторів, або як перетин скінченного числа півпросторів. </font> |
| − | Еквівалентність двох визначень опуклого багатогранного конуса | + | <font size=3> Еквівалентність двох визначень опуклого багатогранного конуса <math> C </math> використовується для приведення у відповідність кожній матриці <math> B </math> так звану полярну матрицю <math> B^*</math>. </font> |
| − | Матриця <math> B^*</math> (розмірності <math>l | + | <font size=3> Матриця <math> B^*</math> (розмірності <math>l \times m</math>) називається ''полярною'' до матриці <math> B </math> (розмірності <math>m \times n_1</math>), якщо <math> B^*</math> — матриця з мінімальним числом рядків, що задовольняють умові: </font> |
| − | <math> C=\{t|\exist y\geqslant 0, t=By\}=\{t|B^* t\geqslant 0\} </math> | + | <font size=3> <math> C=\{t|\exist y\geqslant 0, t=By\}=\{t|B^* t\geqslant 0\} </math>. </font> |
| − | Введемо множини: | + | <font size=3> Введемо множини: </font> |
| − | <math> N=\{\chi|\forall (\omega \in \Omega) \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-\chi\} </math> | + | <font size=3> <math> N=\{\chi|\forall (\omega \in \Omega) \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-\chi\} </math>, </font> |
| − | <math> N(\omega)=\{\chi| \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-\chi\} </math> | + | <font size=3> <math> N(\omega)=\{\chi| \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-\chi\} </math>. </font> |
| − | Зрозуміло, що <math> N=\cap_{\omega \in \Omega}N(\omega) </math> | + | <font size=3> Зрозуміло, що <math> N=\cap_{\omega \in \Omega}N(\omega) </math>. </font> |
| − | Раніше були введені множини: | + | <font size=3> Раніше (у попередніх пунктах) були введені множини: </font> |
| − | <math> K_2 =\{x|\forall (\omega \in \Omega) \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-A(\omega)x\} </math> | + | <font size=3> <math> K_2 =\{x|\forall (\omega \in \Omega) \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-A(\omega)x\} </math>, </font> |
| − | <math> K_2(\omega) =\{x| \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-A(\omega)x\} </math> | + | <font size=3> <math> K_2(\omega) =\{x| \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-A(\omega)x\} </math>. </font> |
| − | Ці множини пов'язані з множинами <math> N </math> і <math> N(\omega) </math> співвідношеннями: | + | <font size=3> Ці множини пов'язані з множинами <math> N </math> і <math> N(\omega) </math> співвідношеннями: </font> |
| − | <math> K_2=\{x| | + | <font size=3> <math> K_2=\{x|Ax=\chi , \chi \in N\} </math>, </font> |
| − | <math> K_2(\omega)=\{x| | + | <font size=3> <math> K_2(\omega)=\{x|Ax=\chi , \chi \in N(\omega)\} </math>. </font> |
| − | В наступних трьох лемах сформульовані властивості введених множин, які будуть використані для доведення твердження про багатогранність опуклої множини K – області визначення попередніх планів | + | <font size=3> В наступних трьох лемах сформульовані властивості введених множин, які будуть використані для доведення твердження про багатогранність опуклої множини <math> K </math> – області визначення попередніх планів двохетапної задачі. </font> |
| − | Лема 1. Якщо <math>N(\omega)</math> – опукла | + | <font size=3> '''Лема 1.1.''' Якщо <math>N(\omega)</math> – опукла багатогранна множина, то <math>K_2 (\omega) </math> – теж опукла багатогранна множина. Якщо <math>N</math> – опукла, багатогранна множина, то <math>K_2</math> – теж опукла багатогранна множина. </font> |
| − | Лема 2. Множина <math>N(\omega) </math>може бути представлена у вигляді: | + | <font size=3> '''Лема 1.2.''' Множина <math>N(\omega) </math> може бути представлена у вигляді: </font> |
| − | <math>N(\omega)=\{\chi|B^* \chi \leqslant B^* b(\omega)\} </math> | + | <font size=3> <math>N(\omega)=\{\chi|B^* \chi \leqslant B^* b(\omega)\} </math>. </font> |
| − | Лема 3. Множина N є опуклою багатогранною множиною, що визначається системою лінійних нерівностей: | + | <font size=3> '''Лема 1.3.''' Множина <math>N</math> є опуклою багатогранною множиною, що визначається системою лінійних нерівностей: </font> |
| − | <math> | + | <font size=3> <math> B_i^* \chi(\omega) \leqslant\alpha_i^*,i=1,...,l </math>. </font> |
| − | якщо для деякого <math> i,\alpha_i^*=-\infty </math>, множина N – порожня. | + | <font size=3> якщо для деякого <math> i,\alpha_i^*=-\infty </math>, множина N – порожня. </font> |
| − | Теорема 1. Множина K планів детермінованої задачі, що еквівалентна двоетапній задачі стохастичного програмування, в якій випадковим є тільки вектор обмежень b, є опуклою багатогранною множиною. | + | <font size=3> Теорема 1. Множина K планів детермінованої задачі, що еквівалентна двоетапній задачі стохастичного програмування, в якій випадковим є тільки вектор обмежень b, є опуклою багатогранною множиною. </font> |
| − | Доведення: Множина <math> K=K_1\cap K_2</math> | + | <font size=3> Доведення: Множина <math> K=K_1\cap K_2</math> </font> |
| − | <math> K_1=\{x|A^{(1)}x=b^{(1)},x \geqslant 0\}</math> – випукла многогранна множина. Відповідно до лем 1 і 3 <math> K_2=\{x|B^* Ax\leqslant \alpha^*\} </math> – теж є випуклою многогранною множиною. | + | <font size=3> <math> K_1=\{x|A^{(1)}x=b^{(1)},x \geqslant 0\}</math> – випукла многогранна множина. Відповідно до лем 1 і 3 <math> K_2=\{x|B^* Ax\leqslant \alpha^*\} </math> – теж є випуклою многогранною множиною. </font> |
| − | Звідси випливає, що K – випукла многогранна множина. | + | <font size=3> Звідси випливає, що K – випукла многогранна множина. </font> |
| − | Значить, K – випукла многогранна множина виду | + | <font size=3> Значить, K – випукла многогранна множина виду </font> |
| − | <math>A^{(1)}x=b^{(1)}, Sx\leqslant \alpha^*, x\geqslant 0, S=B^* A</math>. | + | <font size=3> <math>A^{(1)}x=b^{(1)}, Sx\leqslant \alpha^*, x\geqslant 0, S=B^* A</math>. </font> |
| − | Теорема доведена. | + | <font size=3> Теорема доведена. </font> |
| − | Дана теорема має в основному теоретичний інтерес, оскільки немає відносно простих способів побудови матриці B*, полярної до матриці B. | + | <font size=3> Дана теорема має в основному теоретичний інтерес, оскільки немає відносно простих способів побудови матриці B*, полярної до матриці B. </font> |
| − | Розглянемо тепер деякі властивості двоетапної задачі, в якій випадковим є вектор <math>b=b(\omega)</math>. | + | <font size=3> Розглянемо тепер деякі властивості двоетапної задачі, в якій випадковим є вектор <math>b=b(\omega)</math>. </font> |
| − | Згідно з вищерозглянутими твердженнями, задача, що розглядається, може бути записана у вигляді: | + | <font size=3> Згідно з вищерозглянутими твердженнями, задача, що розглядається, може бути записана у вигляді: </font> |
| − | <math> \min_x Q(x)=\min+x \{cx+MP(x,b)\} (1)</math> | + | <font size=3> <math> \min_x Q(x)=\min+x \{cx+MP(x,b)\} (1)</math> </font> |
| − | <math>A^{(1)}=b^{(1)}</math> | + | <font size=3> <math>A^{(1)}=b^{(1)}</math> </font> |
| − | <math>Sx\leqslant \alpha^*</math> | + | <font size=3> <math>Sx\leqslant \alpha^*</math> </font> |
| − | <math> x\geqslant 0 </math> | + | <font size=3> <math> x\geqslant 0 </math> </font> |
| − | де <math> P(x,b)=\min_{y\in Y(x,b)} qy </math> | + | <font size=3> де <math> P(x,b)=\min_{y\in Y(x,b)} qy </math> </font> |
| − | <math> Y(x,b)=\{y|By=b-Ax, y\geqslant 0\}</math> | + | <font size=3> <math> Y(x,b)=\{y|By=b-Ax, y\geqslant 0\}</math> </font> |
| − | для заданих х і b. | + | <font size=3> для заданих х і b. </font> |
| − | Має місце наступна лема: | + | <font size=3> Має місце наступна лема: </font> |
| − | Лема 4. Нехай <math>x^0</math> – розв’язок задачі опуклого програмування (1)-(4). Тоді <math>x^0</math> є розв’язком наступної задачі лінійного програмування: | + | <font size=3> Лема 4. Нехай <math>x^0</math> – розв’язок задачі опуклого програмування (1)-(4). Тоді <math>x^0</math> є розв’язком наступної задачі лінійного програмування: </font> |
| − | <math> cx\rightarrow \min </math> | + | <font size=3> <math> cx\rightarrow \min </math> </font> |
| − | <math> A^{(1)}x=b^{(1)} </math> | + | <font size=3> <math> A^{(1)}x=b^{(1)} </math> </font> |
| − | <math> Sx\leqslant \alpha^* </math> | + | <font size=3> <math> Sx\leqslant \alpha^* </math> </font> |
| − | <math> Ax=Ax^0 </math> | + | <font size=3> <math> Ax=Ax^0 </math> </font> |
| − | <math> x\geqslant 0 </math> | + | <font size=3> <math> x\geqslant 0 </math> </font> |
| − | Теорема 2. Кожна розв’язна задача вигляду (1)-(4) має розв’язок x*, в якому додатні (базисні) складові вектора x* відповідають лінійно незалежним стовпчикам матриці: | + | <font size=3> Теорема 2. Кожна розв’язна задача вигляду (1)-(4) має розв’язок x*, в якому додатні (базисні) складові вектора x* відповідають лінійно незалежним стовпчикам матриці: </font> |
| − | <math>\begin{pmatrix} A^{(1)} \\ S \\ A \end{pmatrix} </math> | + | <font size=3> <math>\begin{pmatrix} A^{(1)} \\ S \\ A \end{pmatrix} </math> </font> |
| − | Доведення: Нехай <math> x^0 </math> – розв’язок задачі (1)-(4). Згідно з лемою 4, вектор <math> x^0 </math> є розв’язком задачі (7)-(11). Також легко бачити, що оптимальний план <math> \tilde{x} </math> задачі (7)-(11) є оптимальним планом задачі (1)-(4). Дійсно, з того, що <math> A\tilde{x}=Ax^0 </math> випливає, що <math> P(\tilde{x},b(\omega))=P(x^0,b(\omega))</math> для всіх <math> \omega\in\Omega </math>. А за цих умов мінімум <math>Q(x)</math> досягіється при <math> c\tilde{x}=cx^0 </math>. | + | <font size=3> Доведення: Нехай <math> x^0 </math> – розв’язок задачі (1)-(4). Згідно з лемою 4, вектор <math> x^0 </math> є розв’язком задачі (7)-(11). Також легко бачити, що оптимальний план <math> \tilde{x} </math> задачі (7)-(11) є оптимальним планом задачі (1)-(4). Дійсно, з того, що <math> A\tilde{x}=Ax^0 </math> випливає, що <math> P(\tilde{x},b(\omega))=P(x^0,b(\omega))</math> для всіх <math> \omega\in\Omega </math>. А за цих умов мінімум <math>Q(x)</math> досягіється при <math> c\tilde{x}=cx^0 </math>. </font> |
| − | Оскільки задача лінійного програмування (7)-(11) має оптимальний план x^0, вона повинна мати і опорний оптимальний план. Позначимо його через x*. Тоді базисним компонентам вектора x* відповідають лінійно незалежні стовбці матриці | + | <font size=3> Оскільки задача лінійного програмування (7)-(11) має оптимальний план x^0, вона повинна мати і опорний оптимальний план. Позначимо його через x*. Тоді базисним компонентам вектора x* відповідають лінійно незалежні стовбці матриці </font> |
| − | <math>\begin{pmatrix} A^{(1)} \\ S \\ A \end{pmatrix} </math> | + | <font size=3> <math>\begin{pmatrix} A^{(1)} \\ S \\ A \end{pmatrix} </math> </font> |
| − | і x* – розв’язок задачі (1)-(4). | + | <font size=3> і x* – розв’язок задачі (1)-(4). </font> |
| − | Теорема доведена. | + | <font size=3> Теорема доведена. </font> |
| − | Наслідок 1. Кожна розв’язна задача вигляду (1)-(4) має розв’язок x*, в якому базисні складові вектора x* відповідають лінійно незалежним стовпчикам матриці: | + | <font size=3> Наслідок 1. Кожна розв’язна задача вигляду (1)-(4) має розв’язок x*, в якому базисні складові вектора x* відповідають лінійно незалежним стовпчикам матриці: </font> |
| − | <math>\begin{pmatrix} A^{(1)} \\ A \end{pmatrix} </math> | + | <font size=3> <math>\begin{pmatrix} A^{(1)} \\ A \end{pmatrix} </math> </font> |
| − | Це твердження слідує з теореми 2 через те, що <math> S=B^* A</math>. | + | <font size=3> Це твердження слідує з теореми 2 через те, що <math> S=B^* A</math>. </font> |
| − | Наслідок 2. Нехай ранг матриці А дорівнює <math> r (\leqslant m)</math> і задача (1)-(4) розв’язна. Тоді ця задача має розв’язок x*, в якому не більше, m+r складових вектора x* додатні. | + | <font size=3> Наслідок 2. Нехай ранг матриці А дорівнює <math> r (\leqslant m)</math> і задача (1)-(4) розв’язна. Тоді ця задача має розв’язок x*, в якому не більше, m+r складових вектора x* додатні. </font> |
| − | Це твердження слідує з наслідку 1. | + | <font size=3> Це твердження слідує з наслідку 1. </font> |
Виконав: [[Користувач:Олійник_Артем|Олійник Артем Олександрович]] | Виконав: [[Користувач:Олійник_Артем|Олійник Артем Олександрович]] | ||
Версія за 22:21, 3 червня 2017
Розглянемо двоетапну задачу стохастичного програмування:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_x m_{\omega}\{cx+P(x,A,b)\}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A^{(1)}x=b^{(1)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \geqslant 0
Нехай випадковими є тільки складові вектора обмежень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b . Всі інші параметри умов задачі – детерміновані.
Єдине припущення, з яким ми пов’язуємо вибір випадкового вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b(\omega) , полягає в тому, що його розподіл не повинен залежати від вибору попереднього плану Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x .
Згідно раніше розглянутої теореми (2.2), для загальної двохетапної задачі множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K
попередніх планів – опукла. Для розглянутого часткового випадку можна довести більш сильне твердження. Виявляється, що в цьому випадку множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K не тільки опукла, але й багатогранна. Більше того, можна явно записати систему лінійних нерівностей, що визначають множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K
.
Нагадаємо деякі поняття, що необхідні для наступних побудов.
Як відомо, опуклий багатогранний Конус Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C
може бути представлений або як невід’ємна комбінація скінченного числа векторів, або як перетин скінченного числа півпросторів.
Еквівалентність двох визначень опуклого багатогранного конуса Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C
використовується для приведення у відповідність кожній матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B так звану полярну матрицю Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B^*
.
Матриця Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B^*
(розмірності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): l \times m
) називається полярною до матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B
(розмірності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m \times n_1
), якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B^*
— матриця з мінімальним числом рядків, що задовольняють умові:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C=\{t|\exist y\geqslant 0, t=By\}=\{t|B^* t\geqslant 0\} .
Введемо множини:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N=\{\chi|\forall (\omega \in \Omega) \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-\chi\} ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N(\omega)=\{\chi| \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-\chi\} .
Зрозуміло, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N=\cap_{\omega \in \Omega}N(\omega) .
Раніше (у попередніх пунктах) були введені множини:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2 =\{x|\forall (\omega \in \Omega) \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-A(\omega)x\} ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2(\omega) =\{x| \exist y \geqslant 0, By=b(\omega)-A(\omega)x\} .
Ці множини пов'язані з множинами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N(\omega) співвідношеннями:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2=\{x|Ax=\chi , \chi \in N\} ,
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2(\omega)=\{x|Ax=\chi , \chi \in N(\omega)\} .
В наступних трьох лемах сформульовані властивості введених множин, які будуть використані для доведення твердження про багатогранність опуклої множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K
– області визначення попередніх планів двохетапної задачі.
Лема 1.1. Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N(\omega)
– опукла багатогранна множина, то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2 (\omega) – теж опукла багатогранна множина. Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N – опукла, багатогранна множина, то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2 – теж опукла багатогранна множина.
Лема 1.2. Множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N(\omega)
може бути представлена у вигляді:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N(\omega)=\{\chi|B^* \chi \leqslant B^* b(\omega)\} .
Лема 1.3. Множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N
є опуклою багатогранною множиною, що визначається системою лінійних нерівностей:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B_i^* \chi(\omega) \leqslant\alpha_i^*,i=1,...,l .
якщо для деякого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i,\alpha_i^*=-\infty , множина N – порожня.
Теорема 1. Множина K планів детермінованої задачі, що еквівалентна двоетапній задачі стохастичного програмування, в якій випадковим є тільки вектор обмежень b, є опуклою багатогранною множиною.
Доведення: Множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K=K_1\cap K_2
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_1=\{x|A^{(1)}x=b^{(1)},x \geqslant 0\}
– випукла многогранна множина. Відповідно до лем 1 і 3 Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): K_2=\{x|B^* Ax\leqslant \alpha^*\}
– теж є випуклою многогранною множиною.
Звідси випливає, що K – випукла многогранна множина.
Значить, K – випукла многогранна множина виду
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A^{(1)}x=b^{(1)}, Sx\leqslant \alpha^*, x\geqslant 0, S=B^* A .
Теорема доведена.
Дана теорема має в основному теоретичний інтерес, оскільки немає відносно простих способів побудови матриці B*, полярної до матриці B.
Розглянемо тепер деякі властивості двоетапної задачі, в якій випадковим є вектор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b=b(\omega) .
Згідно з вищерозглянутими твердженнями, задача, що розглядається, може бути записана у вигляді:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_x Q(x)=\min+x \{cx+MP(x,b)\} (1)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A^{(1)}=b^{(1)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Sx\leqslant \alpha^*
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geqslant 0
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x,b)=\min_{y\in Y(x,b)} qy
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y(x,b)=\{y|By=b-Ax, y\geqslant 0\}
для заданих х і b.
Має місце наступна лема:
Лема 4. Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^0
– розв’язок задачі опуклого програмування (1)-(4). Тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^0 є розв’язком наступної задачі лінійного програмування:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx\rightarrow \min
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A^{(1)}x=b^{(1)}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Sx\leqslant \alpha^*
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Ax=Ax^0
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geqslant 0
Теорема 2. Кожна розв’язна задача вигляду (1)-(4) має розв’язок x*, в якому додатні (базисні) складові вектора x* відповідають лінійно незалежним стовпчикам матриці:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ S \\ A \end{pmatrix}
Доведення: Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^0
– розв’язок задачі (1)-(4). Згідно з лемою 4, вектор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^0
є розв’язком задачі (7)-(11). Також легко бачити, що оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{x}
задачі (7)-(11) є оптимальним планом задачі (1)-(4). Дійсно, з того, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A\tilde{x}=Ax^0
випливає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(\tilde{x},b(\omega))=P(x^0,b(\omega))
для всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega\in\Omega
. А за цих умов мінімум Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)
досягіється при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c\tilde{x}=cx^0
.
Оскільки задача лінійного програмування (7)-(11) має оптимальний план x^0, вона повинна мати і опорний оптимальний план. Позначимо його через x*. Тоді базисним компонентам вектора x* відповідають лінійно незалежні стовбці матриці
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ S \\ A \end{pmatrix}
і x* – розв’язок задачі (1)-(4).
Теорема доведена.
Наслідок 1. Кожна розв’язна задача вигляду (1)-(4) має розв’язок x*, в якому базисні складові вектора x* відповідають лінійно незалежним стовпчикам матриці:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ A \end{pmatrix}
Це твердження слідує з теореми 2 через те, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S=B^* A .
Наслідок 2. Нехай ранг матриці А дорівнює Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): r (\leqslant m)
і задача (1)-(4) розв’язна. Тоді ця задача має розв’язок x*, в якому не більше, m+r складових вектора x* додатні.
Це твердження слідує з наслідку 1.
Виконав: Олійник Артем Олександрович
