Задача СП: М-модель з імовірнісними обмеженнями з випадковою матрицею коефіцієнтів обмежень. Незалежні корельовані умови обмеження.

Відмовимося тепер від умови детермінованості матриці А в задачі (1.1)-(1.3). Нехай елементи матриці А та складові вектора b – незалежні між собою нормально розподілені випадкові величини.

Запис Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{ij}\in N(\bar{a}_{ij},\sigma^2_{ij}) , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}\in N(\bar{b}_{i},\vartheta^2_{i})

 означає що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{ij}
 та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
 - нормально розподілені в.в. з математичними сподіваннями Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{a}_{ij}
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{b}_{i}
і  дисперсіями  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vartheta^2_{i}
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \sigma^2_{ij}

.

Нехай крім того

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha{i}\geqslant 0,5,i=1,\ldots,m .

При зроблених припущеннях лінійна стохастична задача (1.1)-(1.3), розв'язок якої визначається в розв’язувальних правилах нульового порядку, зводиться до детермінованої задачі випуклого програмування з лінійною цільовою функцією і квадратичними обмеженнями.

Дійсно, при прийнятих припущеннях нев’язка і- ї умови – випадкова величина

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \delta_{i} = \sum^{n}_{j=1}{a_{ij}x_{j}}- b_{i}

є нормально розподіленою величиною з математичним сподіванням

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{\delta}_{i}(x) = \sum^{n}_{j=1}\bar{a_{ij}x_{j}}- \bar{b_{i}}

І дисперсією

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma^2_{i}(x)= \sum^{n}_{j=1}\sigma^2_{ij}x^2_{j}+ \vartheta^2_{i} .

тобто

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \delta_{i}(x)\in N(\bar{\delta_{i}},\sigma^2_{i}(x)) .

Співвідношення (1.2) еквівалентні нерівностям

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(\delta_{i}(x)\leqslant0)\geqslant\alpha_{i}

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m

,

Або , в нашому випадку те саме

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma_{i}(x)} \int\limits_{\infty}^{0} e^{(-\xi-\bar{\delta_{i}(x)})^2/2\sigma^2_{i}(x)}d\xi \geqslant\alpha_{i} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m ,.

Позначивши

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_\infty^0 e^{-\xi^2/2}d\xi

- функція Лапласа [1],

перепишемо останню нерівність у вигляді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi(-\bar{\delta_{i}(x)}/\sigma_{i}(x))\geqslant\alpha_{i} ,

Або те саме , що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{\delta_{i}(x)}+\Phi^{-1}(\alpha_{i}\sigma_{i}(x))\leqslant 0 .

Враховуючи вирази для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{\delta_{i}(x)}

та  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sigma_{i}(x)
отримаємо 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum^{n}_{j=1}\sigma^2_{ij}x^2_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum^{n}_{j=1}\bar{a_{ij}x_{j}} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m . (1.12)

При умові Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{i}\geqslant 0,5 . В цьому випадку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi^{-1}(\alpha_{i})\geqslant 0

, і область обмежена умовами (1.12) – випукла. 

Аналогічний результат отримається і тоді коли випадкові елементи умови – рядки корельовано між собою .

Ведемо позначення

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \upsilon_{ij}= M((b_{i}-\bar{b_{i}})(a_{ij}-\bar{a_{ij}})) , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \upsilon_{ijk}= M((a_{ij}-\bar{a_{ij}})(a_{ik}-\bar{a_{ik}})) .

Міркуючи як і раніше отримаємо при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{i}\geqslant 0,5

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}+2\sum_{j}\upsilon_{ij}x_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum_{j}\bar{a_{ij}x_{j}}

(1.13)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m .

Додатня визначеність форми Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}

 гарантує випуклість форми,  обмеженої умовами (1.13).

Таким чином при прийнятих припущеннях лінійна стохастична задача (1.1)-(1.3) з ймовірнісними обмеженнями зводиться до детермінованої задачі випуклого програмування з лінійною цільовою функцією і квадратичними умовами - нерівностями:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{n}_{j=1}\bar{c_{j}}\rightarrow max , (1.14)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi^{-1}(\alpha_{i})(\sum_{jk}\upsilon_{ijk}x_{j}x_{k}+2\sum_{j}\upsilon_{ij}x_{j}+ \vartheta^2_{i})^{1/2})\leqslant \bar{b_{i}}-\sum_{j}\bar{a_{ij}x_{j}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m

(1.15)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j}\geqslant 0 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j=1,\ldots,n

(1.16).