Відмінності між версіями «Екстремальні задачі та розв’язувальні розподіли. Класифікація задач за розв’язувальними розподілами: з детермін.и умовами...»

 вектора х при якому:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{0} (x) =\int \phi_{0} dF_{x} \rightarrow inf , (3.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{i} (x) =\int \phi_{i} dF_{x} \leqslant 0, i=1,2,...,m , (3.2)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X , (3.3)

де Х задана множина в n-вимірному евклідовому просторі.

В задачах другого класу потрібно обчислити функцію розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x}

для якої:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{0} (\omega,x) =\int \limits_{\tilde{x \times \Omega}} \phi_{0}(\omega,x) dF_{x} dF_{\infty} \rightarrow inf , (3.4)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{i} (\omega,x) =\int\limits_{\tilde{x \times \Omega}} \phi_{i}(\omega,x) dF_{x} dF_{\infty} \leqslant 0, i=1,2,...,m , (3.5)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X

,  (3.6)

В задачах третього класу потрібно обрахувати умовну функцію розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x|\infty}

для якої

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{0} (\omega,x) =\int \limits_{\tilde{x \times \Omega}} \phi_{0}(\omega,x) dF_{x|\infty} dF_{\infty} \rightarrow inf , (3.7)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\phi_{i} (\omega,x) =\int\limits_{\tilde{x \times \Omega}} \phi_{i}(\omega,x) dF_{x|\infty} dF_{\infty} \leqslant 0, i=1,2,...,m

,      (3.8)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X . (3.9)

1.2. Розглянемо детальніше задачі (3.1)-(3.3) першого класу. Введемо нові змінні:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{y_{i}}= \phi_{i}(x) , i=1,2,...,m , (3.10)

Відображення (3.10) переводить множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X \subset R^{n}

в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  У  \subset R^{m+1} 

. В загальному випадку У- не опукла і не замкнена множина. Позначимо через соУ випуклу оболонку множини У. Задача (3.1)-(3.3) Може бути переписана у вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{0} \rightarrow inf

,    (3.11)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{i} \leqslant 0, i=1,2,...,m , (3.12)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=(y_{0},y_{1},...,y_{m}) \in coY .(3.13)

Згідно з теоремою Каратеодорі для побудови випуклої оболонки з множини У із m+1- вимірного простору потрібно в загальному випадку не більше m+2 точок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \in Y . Це означає, що соУ може бути представлена у вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ coY= \{\sum^{m+1}_{k=0} {\phi_{i}(x_{k})p_{k}}; i=0,1,...,m; p_{k}\geq 0 , \sum^{m+1}_{k=0} p_{k}=1, x_{k} \in X \} .

Нас цікавлять тільки точки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \in Y \subset R^{m+1} , одна із координат Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (y_{0})

яких досягає свого екстремального значення. Такі точки у відповідності із наслідком теореми Каратеодорі можуть бути представлені як випуклі комбінації не більш ніж m+1 точок множини У.

Відповідно, задача (3.11)-(3.13), а разом з нею і початкова задача (3.1)-(3.3) повністю визначається набором m+1 векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k} \in X

і m+1 чисел Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  p_{k} (k=0,1,...,m), p_{k}\geq 0, \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1.

Задача (3.1)-(3.3)еквівалентна, таким чином, наступній скінченно вимірній задачі.

Потрібно обрахувати вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k}

і числа  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   p_{k} 

, які визначають нижню грань функціонала:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{k=0} {\phi_{0}(x_{k})p_{k}} , (3.14)

за умов

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{k=0} {\phi_{і}(x_{k})p_{k}}\leqslant 0,i=1,2,...,m, (3.15)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k} \in X, p_{k} \geq 0, k=0,1,...,m, \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1.

 (3.16)

Вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k}^*

і числа  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   p_{k}^* 

, що складають оптимальний план задачі (3.14)-(3.16), визначають дискретний розв'язувальний розподіл вихідної задачі (3.1)-(3.3).

1.3. Визначення апріорних вирішальних розподілів завдань другого класу - стохастичних задач виду (3,4)-(3,6) може бути аналогічним образом зведена до рішення задач кінцево-метричного нелінійного програмування.

Позначимо

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_{\tilde{ \Omega}} \phi_{i}(\omega,x) dF_{\infty} = \tilde \phi_{i}(x), i=0,1,...,m , (3,17)

У цих позначеннях задача (3.4) - (3.6) зводиться до задачі виду (3.1) - (3.3). Повторюючи міркування попереднього пункту, приходимо до висновку, що обчислення апріорних розв'язувальних розподілів задачі (3.4) - (3.6) еквівалентного розв'язку наступної кінцево-вимірної задачі математичного програмування.

Потрібно обрахувати вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k}^*

і числа  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   p_{k}^* 
 які визначають нижню межу функціоналу:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{k=0} \tilde {\phi_{0}(x_{k})p_{k}}

(3.18)

за умов

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{k=0} \tilde {\phi_{i}(x_{k})p_{k}} \leqslant 0.

(3.19)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X, p_{k} \geq 0, k=0,1,...,m, \sum^{m}_{k=0} p_{k}=1.

(3.20)

Оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{k}^*, p_{k}^*, k = 0,1,...,m,

задачі (3.18) - (3.20) визначає дискретний розв'язувальний розподіл задачі (3.4) - (3.6). 

У випадку, коли множина X складається з скінченного числа s точок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{1}, ..., x_{s}, . обрахунок вирішального розподілу зводиться до вирішення задачі лінійного програмування

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{s}_{k=1} \tilde {\phi_{0}(x_{k})p_{k}} \rightarrow min

(3.21)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{s}_{k=1} \tilde {\phi_{i}(x_{k})p_{k}} \leqslant 0i=1,2,...,m.

  (3.22)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{s}_{k=1} p_{k}=1,

(3.23)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_{k} \geq 0, k=1,...,s.

(3.24)

Крім умов невід'ємності змінних задача має обмеження. Тому оптимальний план задачі ( 3.21 ) - ( 3.24 ) містить не більше m+1 додатних значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_{k} . Величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_{k}^* \geq 0

і відповідні їм вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x_{k}^* 
визначають апріорні дискретні вирішальні розподіли розглянутої задачі . Наведені міркування справедливі і для множини Х, що складеться із скінченного числа точок. Цей же принцип може бити використаний для наближення апріорного вирішального розподілу у випадку, коли множина Х являє собою компакт. Дискретні значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x_{k} 
відповідають вузлам Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \epsilon 

- мережі(сети) множини Х.