Відмінності між версіями «Детерм. аналог для довільного розподілу вип. вектора b: нормальний розподіл, розподіл Вейбулла, рівномірний розподіл, гамма-розподіл.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
(не показані 3 проміжні версії цього учасника)
Рядок 1: Рядок 1:
 +
Зведення задачі стохастичного програмування до еквівалентної детермінованої задачі є ефективним способом аналізу стохастичних моделей у тих випадках, коли детерміновані еквіваленти є задачами лінійного або випуклого програмування.
 +
 +
Наведемо деякі класи лінійних задач з ймовірнісними обмеженнями, для яких детерміновані еквіваленти являють собою задачі випуклого програмування. Покажемо, що вони можуть бути перетворені у зручний, для використання ефективних методів рішення, вигляд.
 +
Потрібно обчислити детерміновані вектори <math> x </math> та <math> g(x) </math>, за яких
 +
 +
<math> \overline{c}x \to \max </math>
 +
 +
<math> F_{x}(g(x))=F_{x}(Ax- \tilde{b})=\alpha </math>
 +
 +
<math> g(x) = Ax- \tilde{b} , x\geqslant  0 </math>
 +
 +
Тут
 +
 +
<math> F_{x}(Ax- \tilde{b})= P \{ Ax-b<Ax- \tilde{b} \} = P \{b> \tilde {b} \} </math>
 +
 +
У випадку, коли складові <math> b_i </math> вектора <math> b </math> - незалежні випадкові величини:
 +
 +
<math> P \{b \geqslant \tilde {b} \} = \prod_{i =1}^m P \{b_i \geqslant  \tilde{b_i} \} = \prod_{i =1}^m [1-P \{b_i <  \tilde{b_i}) ] = \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ] </math>
 +
 +
де <math> F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) </math> - функція розподілу компоненти <math> b_i </math> вектора <math> b </math>.
 +
 +
Еквівалентна детермінована задача при цьому набуває вигляду:
 +
 +
<math> \overline{c}x \to \max </math> 
 +
 +
<math> Ax\leqslant \tilde{b} </math>
 +
 +
<math> \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ] \geqslant \alpha </math> 
 +
 +
<math> x\geqslant 0 </math>
 +
 
Розглянемо випадок, коли щільності розподілів складових <math> b_i </math> вектора обмежень визначаються однією з наступних функцій:
 
Розглянемо випадок, коли щільності розподілів складових <math> b_i </math> вектора обмежень визначаються однією з наступних функцій:
  
Рядок 4: Рядок 35:
  
 
<math> 2) \varphi_{i}^{(2)}(y_i)=\begin{cases}
 
<math> 2) \varphi_{i}^{(2)}(y_i)=\begin{cases}
 +
 
\lambda_i\zeta_i(y_i-\beta_i)^{\zeta_i-1}e^{-\lambda_i(y_i-\beta_i)^{\zeta_i}},y_i\geqslant \beta_i\\
 
\lambda_i\zeta_i(y_i-\beta_i)^{\zeta_i-1}e^{-\lambda_i(y_i-\beta_i)^{\zeta_i}},y_i\geqslant \beta_i\\
 +
 
0, y_i<\beta_i
 
0, y_i<\beta_i
 +
 
\end{cases}</math>
 
\end{cases}</math>
  
Рядок 11: Рядок 45:
  
 
<math> 3) \varphi_{i}^{(3)}(y_i)=\begin{cases}
 
<math> 3) \varphi_{i}^{(3)}(y_i)=\begin{cases}
\frac{n_i}{\overline{a}_i-\underline{a}_i}(\frac{y_i-\underline{a}_i}{\overline{a}_i-\underline{a}_i})^{n_i-1},y_i \in [\overline{a}_i,\underline{a}_i]\\
+
 
 +
\frac{n_i}{\overline{a}_i-\underline{a}_i}(\frac{y_i-\underline{a}_i}{\overline{a}_i-\underline{a}_i})^{n_i-1},y_i \in  
 +
 
 +
[\overline{a}_i,\underline{a}_i]\\
 +
 
 
0, y_i \overline{\in} [\overline{a}_i,\underline{a}_i]
 
0, y_i \overline{\in} [\overline{a}_i,\underline{a}_i]
 +
 
\end{cases}</math>
 
\end{cases}</math>
  
 
<math> 4) \varphi_{i}^{(4)}(y_i)=\begin{cases}
 
<math> 4) \varphi_{i}^{(4)}(y_i)=\begin{cases}
 +
 
\frac{\lambda_i}{\Gamma(\zeta_i)}(\lambda_i y_i)^{\zeta_i-1}e^{-\lambda_i y_i},y_i\geqslant 0\\
 
\frac{\lambda_i}{\Gamma(\zeta_i)}(\lambda_i y_i)^{\zeta_i-1}e^{-\lambda_i y_i},y_i\geqslant 0\\
 +
 
0, y_i<0
 
0, y_i<0
 
\end{cases}</math>
 
\end{cases}</math>
Рядок 23: Рядок 64:
  
 
Щільність розподілу 1) відповідає нормальному закону. Формула 2) відповідає розподілу Вейбулла. Розподіл 3) включає рівномірний розподіл (<math> n_i=1 </math>). Щільність 4) визначає гамма-розподіл. Формули 2) і 4) включають експоненційний розподіл (<math> \zeta_i=1 </math>).  
 
Щільність розподілу 1) відповідає нормальному закону. Формула 2) відповідає розподілу Вейбулла. Розподіл 3) включає рівномірний розподіл (<math> n_i=1 </math>). Щільність 4) визначає гамма-розподіл. Формули 2) і 4) включають експоненційний розподіл (<math> \zeta_i=1 </math>).  
 
 
У всіх цих випадках розглянута задача – задача опуклого програмування. Однак ліві частини обмежень <math> \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ] \geqslant \alpha </math> – не є опуклими вверх функціями. Замінимо цю умову на еквівалентну нерівність:
 
У всіх цих випадках розглянута задача – задача опуклого програмування. Однак ліві частини обмежень <math> \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ] \geqslant \alpha </math> – не є опуклими вверх функціями. Замінимо цю умову на еквівалентну нерівність:
 
 
<math> \sum_{i=1}^m \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})] \geqslant \ln(\alpha) </math>
 
<math> \sum_{i=1}^m \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})] \geqslant \ln(\alpha) </math>
 
 
Ця заміна дозволяє перейти для всіх вищезазначених розподілів до  еквівалентних детермінованих задач, у яких ліві частини обмежень – лінійні та опуклі вверх функції.  
 
Ця заміна дозволяє перейти для всіх вищезазначених розподілів до  еквівалентних детермінованих задач, у яких ліві частини обмежень – лінійні та опуклі вверх функції.  
  
Рядок 54: Рядок 92:
  
 
тобто, спадна функція від <math> \tilde{b}_i </math>. Але <math>\Theta_i(\infty)=0 </math>. Тому <math>\Theta_i(\tilde{b}_i)\geqslant 0 </math> і <math>\frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2}\gamma(\tilde{b}_i)\leqslant 0 </math>, що і необхідно було довести.
 
тобто, спадна функція від <math> \tilde{b}_i </math>. Але <math>\Theta_i(\infty)=0 </math>. Тому <math>\Theta_i(\tilde{b}_i)\geqslant 0 </math> і <math>\frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2}\gamma(\tilde{b}_i)\leqslant 0 </math>, що і необхідно було довести.
 
 
  
 
Для розподілу Вейбула маємо:
 
Для розподілу Вейбула маємо:
Рядок 88: Рядок 124:
  
 
Виконав: [[Користувач:Олійник_Артем|Олійник Артем Олександрович]]
 
Виконав: [[Користувач:Олійник_Артем|Олійник Артем Олександрович]]
 +
 +
Редагувала: [[Користувач:Катя Зотько|Чеголя Катерина]]

Поточна версія на 09:52, 22 травня 2018

Зведення задачі стохастичного програмування до еквівалентної детермінованої задачі є ефективним способом аналізу стохастичних моделей у тих випадках, коли детерміновані еквіваленти є задачами лінійного або випуклого програмування.

Наведемо деякі класи лінійних задач з ймовірнісними обмеженнями, для яких детерміновані еквіваленти являють собою задачі випуклого програмування. Покажемо, що вони можуть бути перетворені у зручний, для використання ефективних методів рішення, вигляд. Потрібно обчислити детерміновані вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  g(x) 

, за яких

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \overline{c}x \to \max


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x}(g(x))=F_{x}(Ax- \tilde{b})=\alpha


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x) = Ax- \tilde{b} , x\geqslant 0


Тут

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x}(Ax- \tilde{b})= P \{ Ax-b<Ax- \tilde{b} \} = P \{b> \tilde {b} \}


У випадку, коли складові Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i

вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  b 
- незалежні випадкові величини:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P \{b \geqslant \tilde {b} \} = \prod_{i =1}^m P \{b_i \geqslant \tilde{b_i} \} = \prod_{i =1}^m [1-P \{b_i < \tilde{b_i}) ] = \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ]


де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})

- функція розподілу компоненти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  b_i 
вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  b 

.

Еквівалентна детермінована задача при цьому набуває вигляду:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \overline{c}x \to \max


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Ax\leqslant \tilde{b}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ] \geqslant \alpha


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geqslant 0


Розглянемо випадок, коли щільності розподілів складових Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i

вектора обмежень визначаються однією з наступних функцій:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 1) \varphi_{i}^{(1)}(y_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i} e^{-\frac{(y_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2) \varphi_{i}^{(2)}(y_i)=\begin{cases} \lambda_i\zeta_i(y_i-\beta_i)^{\zeta_i-1}e^{-\lambda_i(y_i-\beta_i)^{\zeta_i}},y_i\geqslant \beta_i\\ 0, y_i<\beta_i \end{cases}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i\geqslant 1, \lambda\geqslant 0;


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 3) \varphi_{i}^{(3)}(y_i)=\begin{cases} \frac{n_i}{\overline{a}_i-\underline{a}_i}(\frac{y_i-\underline{a}_i}{\overline{a}_i-\underline{a}_i})^{n_i-1},y_i \in [\overline{a}_i,\underline{a}_i]\\ 0, y_i \overline{\in} [\overline{a}_i,\underline{a}_i] \end{cases}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 4) \varphi_{i}^{(4)}(y_i)=\begin{cases} \frac{\lambda_i}{\Gamma(\zeta_i)}(\lambda_i y_i)^{\zeta_i-1}e^{-\lambda_i y_i},y_i\geqslant 0\\ 0, y_i<0 \end{cases}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i\geqslant 1, \lambda\geqslant 0;


Щільність розподілу 1) відповідає нормальному закону. Формула 2) відповідає розподілу Вейбулла. Розподіл 3) включає рівномірний розподіл (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n_i=1 ). Щільність 4) визначає гамма-розподіл. Формули 2) і 4) включають експоненційний розподіл (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i=1 ). У всіх цих випадках розглянута задача – задача опуклого програмування. Однак ліві частини обмежень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ] \geqslant \alpha

– не є опуклими вверх функціями. Замінимо цю умову на еквівалентну нерівність:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{i=1}^m \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})] \geqslant \ln(\alpha)

Ця заміна дозволяє перейти для всіх вищезазначених розподілів до еквівалентних детермінованих задач, у яких ліві частини обмежень – лінійні та опуклі вверх функції.

Доведемо це твердження для розподілів 1) і 2). Твердження буде доведене, якщо буде встановлена нерівність:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \gamma(\tilde{b_{i}})=\frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})] \leqslant 0


де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})= \int\limits_{-\infty}^{\tilde{b_{i}}} \varphi_{i}(y_i)dy_i


Для нормального розподілу 1) маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d}{d\tilde{b}_i} \gamma(\tilde{b_{i}})=\frac{d}{d\tilde{b}_i} \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})]=-\frac{\varphi_i^{(1)}(y_i)}{1-\Phi_i(\tilde{b}_i)}


де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi_{i}^{(1)}(y_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i} e^{-\frac{(\tilde{b}_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2}} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi_i(\tilde{b}_i)= \int\limits_{-\infty}^{\tilde{b_{i}}} e^{-\frac{(y_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2}}


Маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \gamma(\tilde{b_{i}})=-\frac{\varphi_i^{(1)}(y_i)\Theta_i(\tilde{b}_i)}{[1-\Phi_i(\tilde{b}_i)]^2}


де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Theta_i(\tilde{b}_i)=-\frac{\tilde{b}_i-\mu_i}{\sigma_i^2}[1-\Phi_i(\tilde{b}_i)]+\varphi_i^{(1)}(\tilde{b}_i)


Легко побачити, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d\Theta_i(\tilde{b}_i)}{d\tilde{b}_i}=-\frac{1-\Phi_i(\tilde{b}_i)}{\sigma_i^2}<0


тобто, спадна функція від Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b}_i . Але Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Theta_i(\infty)=0 . Тому Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Theta_i(\tilde{b}_i)\geqslant 0

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2}\gamma(\tilde{b}_i)\leqslant 0 

, що і необхідно було довести.

Для розподілу Вейбула маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})= \int\limits_{-\infty}^{\tilde{b_{i}}} \varphi_{i}^{(2)}(y_i)dy_i=\begin{cases} 1-e^{-\lambda_i(\tilde{b_{i}}-\beta_i)^{\zeta_i}},\tilde{b_{i}}\geqslant \beta_i\\ 0, \tilde{b_{i}}<\beta_i \end{cases}


Тому Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \gamma(\tilde{b_{i}})=\begin{cases} -\zeta_i(\zeta_i-1)\lambda_i(\tilde{b}_i-\beta_i)^{\zeta_i-2},\tilde{b_{i}}\geqslant \beta_i\\ 0, \tilde{b_{i}}<\beta_i \end{cases}


Звідси випливає, що ліва частина нерівності (5) для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i , розподілених за Вейбулом, є функцією, опуклою вверх.

Нехай розглянемо частковий випадок, коли складові Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i

вектора обмежень розподілені  за експоненційним законом з параметрами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_i 
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \beta_i 

. Експоненційний розподіл отримується з розподілу Вейбула при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i=1 . Обмеження (2) і (5), можуть бути в даному випадку записані у вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j \leqslant \tilde{b}_i, i=1,2,...,m


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): -\sum_{i=1}^m \lambda_i(\tilde{b}_i-\beta_i)\geqslant \ln(\alpha)


Або, оскільки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_i \geqslant 0


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j \leqslant \tilde{b}_i, i=1,2,...,m


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): -\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \lambda_i a_{ij} x_j \geqslant \ln(\alpha) - \sum_{i=1}^m \lambda_i \beta_i


Таким чином детермінована задача, що еквівалентна стохастичній задачі з ймовірнісними обмеженнями, в якій випадкові складові вектора b незалежні між собою і розподілені по експоненційному закону, виявляється задачею лінійного програмування.


Виконав: Олійник Артем Олександрович

Редагувала: Чеголя Катерина