Перегляд вихідного коду сторінки Детерм. аналог для довільного розподілу вип. вектора b: нормальний розподіл, розподіл Вейбулла, рівномірний розподіл, гамма-розподіл.

Розглянемо випадок, коли щільності розподілів складових <math> b_i </math> вектора обмежень визначаються однією з наступних функцій:

<math> 1) \varphi_{i}^{(1)}(y_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i} e^{-\frac{(y_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2}}</math>;

<math> 2) \varphi_{i}^{(2)}(y_i)=\begin{cases}
\lambda_i\zeta_i(y_i-\beta_i)^{\zeta_i-1}e^{-\lambda_i(y_i-\beta_i)^{\zeta_i}},y_i\geqslant \beta_i\\
0, y_i<\beta_i
\end{cases}</math>

<math>\zeta_i\geqslant 1, \lambda\geqslant 0;</math>

<math> 3) \varphi_{i}^{(3)}(y_i)=\begin{cases}
\frac{n_i}{\overline{a}_i-\underline{a}_i}(\frac{y_i-\underline{a}_i}{\overline{a}_i-\underline{a}_i})^{n_i-1},y_i \in [\overline{a}_i,\underline{a}_i]\\
0, y_i \overline{\in} [\overline{a}_i,\underline{a}_i]
\end{cases}</math>

<math> 4) \varphi_{i}^{(4)}(y_i)=\begin{cases}
\frac{\lambda_i}{\Gamma(\zeta_i)}(\lambda_i y_i)^{\zeta_i-1}e^{-\lambda_i y_i},y_i\geqslant 0\\
0, y_i<0
\end{cases}</math>

<math>\zeta_i\geqslant 1, \lambda\geqslant 0;</math>

Щільність розподілу 1) відповідає нормальному закону. Формула 2) відповідає розподілу Вейбулла. Розподіл 3) включає рівномірний розподіл (<math> n_i=1 </math>). Щільність 4) визначає гамма-розподіл. Формули 2) і 4) включають експоненційний розподіл (<math> \zeta_i=1 </math>). 

У всіх цих випадках розглянута задача – задача опуклого програмування. Однак ліві частини обмежень <math> \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ] \geqslant \alpha </math> – не є опуклими вверх функціями. Замінимо цю умову на еквівалентну нерівність:

<math> \sum_{i=1}^m \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})] \geqslant \ln(\alpha) </math>

Ця заміна дозволяє перейти для всіх вищезазначених розподілів до  еквівалентних детермінованих задач, у яких ліві частини обмежень – лінійні та опуклі вверх функції. 

Доведемо це твердження для розподілів 1) і 2). Твердження буде доведене, якщо буде встановлена нерівність:

<math> \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \gamma(\tilde{b_{i}})=\frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})] \leqslant 0 </math>

де <math> F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})= \int\limits_{-\infty}^{\tilde{b_{i}}} \varphi_{i}(y_i)dy_i   </math>

Для нормального розподілу 1) маємо:

<math> \frac{d}{d\tilde{b}_i} \gamma(\tilde{b_{i}})=\frac{d}{d\tilde{b}_i} \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})]=-\frac{\varphi_i^{(1)}(y_i)}{1-\Phi_i(\tilde{b}_i)} </math>






Виконав: [[Користувач:Олійник_Артем|Олійник Артем Олександрович]]