Відмінності між версіями «Градієнт, ротор, дивергенція в довільній криволінійній системі координат. Коефіцієнт Ляме»
Stas (обговорення • внесок) (Створена сторінка: <math>x=x(q_1,q_2,q_3)</math> <math>y=y(q_1,q_2,q_3)</math> <math>z=z(q_1,q_2,q_3)</math> <math>q_1\perp{q_2}</math>: <math>\frac{\partial{x}}{\partial{q_1}}\f…) |
Stas (обговорення • внесок) |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
+ | Нехай: | ||
+ | |||
<math>x=x(q_1,q_2,q_3)</math> | <math>x=x(q_1,q_2,q_3)</math> | ||
Рядок 5: | Рядок 7: | ||
<math>z=z(q_1,q_2,q_3)</math> | <math>z=z(q_1,q_2,q_3)</math> | ||
− | <math>q_1\perp{q_2}</math>: | + | Для <math>q_1\perp{q_2}</math>: |
<math>\frac{\partial{x}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{x}}{\partial{q_2}}+\frac{\partial{y}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{y}}{\partial{q_2}}+\frac{\partial{z}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{z}}{\partial{q_2}}=0</math> | <math>\frac{\partial{x}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{x}}{\partial{q_2}}+\frac{\partial{y}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{y}}{\partial{q_2}}+\frac{\partial{z}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{z}}{\partial{q_2}}=0</math> | ||
Для <math>q_1\perp{q_3}</math>,<math>q_2\perp{q_3}</math> - аналогічно. | Для <math>q_1\perp{q_3}</math>,<math>q_2\perp{q_3}</math> - аналогічно. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Коефіцієнти Ляме == | ||
+ | |||
В Декартовій системі координат: | В Декартовій системі координат: | ||
Рядок 23: | Рядок 29: | ||
Піднесемо до квадрату і додамо. | Піднесемо до квадрату і додамо. | ||
− | Враховуючи ортогональність системи | + | Враховуючи ортогональність системи координат, подвоєні добутки згрупуються в суми рівні 0, і таким чином сума квадратів: |
<math>ds=[(\frac{\partial x}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_1})^2]{dq_1}^2 +[(\frac{\partial x}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_2})^2]{dq_2}^2 +[(\frac{\partial x}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_3})^2]{dq_3}^2</math> | <math>ds=[(\frac{\partial x}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_1})^2]{dq_1}^2 +[(\frac{\partial x}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_2})^2]{dq_2}^2 +[(\frac{\partial x}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_3})^2]{dq_3}^2</math> | ||
Рядок 38: | Рядок 44: | ||
Коефіцієнт Ляме <math>H_i=\frac{ds_i}{dq_i}</math>- швидкість зміни дуги координатної кривої при зміні її координат. | Коефіцієнт Ляме <math>H_i=\frac{ds_i}{dq_i}</math>- швидкість зміни дуги координатної кривої при зміні її координат. | ||
− | В Декартовій системі координат: | + | |
+ | == В Декартовій системі координат: == | ||
+ | |||
<math>H_1=1</math>, <math>H_2=1</math>, <math>H_3=1</math> | <math>H_1=1</math>, <math>H_2=1</math>, <math>H_3=1</math> | ||
− | В циліндричній системі координат: | + | |
+ | == В циліндричній системі координат: == | ||
+ | |||
<math>H_\rho=1</math>,<math>H_\varphi=\rho</math>, <math>H_z=1</math> | <math>H_\rho=1</math>,<math>H_\varphi=\rho</math>, <math>H_z=1</math> | ||
− | В сферичній системі координат: | + | == В сферичній системі координат: == |
+ | |||
<math>H_r=1</math>, <math>H_\theta=r</math>, <math>H_\varphi=r\sin\theta</math> | <math>H_r=1</math>, <math>H_\theta=r</math>, <math>H_\varphi=r\sin\theta</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Градієнт, ротор, дивергенція == | ||
+ | |||
Нехай є довільна система <math>(q_1,q_2,q_3)</math> і є одиничні вектори <math>\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}</math>, <math>\vec{a} =(a_{q_1},a_{q_2},a_{q_3})</math> | Нехай є довільна система <math>(q_1,q_2,q_3)</math> і є одиничні вектори <math>\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}</math>, <math>\vec{a} =(a_{q_1},a_{q_2},a_{q_3})</math> | ||
Рядок 59: | Рядок 74: | ||
<math>\Delta=\vec{\nabla}^2=\frac{1}{H_1 H_2 H_3}[\frac{\partial}{\partial q_1}(\frac{H_2 H_3}{H_1} \frac{\partial}{\partial q_1}) +\frac{\partial}{\partial q_2}(\frac{H_1 H_3}{H_2} \frac{\partial}{\partial q_2}) +\frac{\partial}{\partial q_3}(\frac{H_1 H_2}{H_3} \frac{\partial}{\partial q_3})]</math> | <math>\Delta=\vec{\nabla}^2=\frac{1}{H_1 H_2 H_3}[\frac{\partial}{\partial q_1}(\frac{H_2 H_3}{H_1} \frac{\partial}{\partial q_1}) +\frac{\partial}{\partial q_2}(\frac{H_1 H_3}{H_2} \frac{\partial}{\partial q_2}) +\frac{\partial}{\partial q_3}(\frac{H_1 H_2}{H_3} \frac{\partial}{\partial q_3})]</math> | ||
+ | |||
+ | Виконав: [[Користувач:Stas|Товсултанов Стас]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[category: Вибрані статті з математичного аналізу]] |
Поточна версія на 21:03, 24 травня 2010
Нехай:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x=x(q_1,q_2,q_3)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=y(q_1,q_2,q_3)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z=z(q_1,q_2,q_3)
Для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_1\perp{q_2}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial{x}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{x}}{\partial{q_2}}+\frac{\partial{y}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{y}}{\partial{q_2}}+\frac{\partial{z}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{z}}{\partial{q_2}}=0
Для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_1\perp{q_3}
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_2\perp{q_3}
- аналогічно.
Зміст
Коефіцієнти Ляме
В Декартовій системі координат:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ds^2=dx^2 +dy^2 +dz^2
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dx=\frac{\partial x}{\partial q_1} dq_1+\frac{\partial x}{\partial q_2} dq_2+\frac{\partial x}{\partial q_3} dq_3
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dy=\frac{\partial y}{\partial q_1} dq_1+\frac{\partial y}{\partial q_2} dq_2+\frac{\partial y}{\partial q_3} dq_3
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dz=\frac{\partial z}{\partial q_1} dq_1+\frac{\partial z}{\partial q_2} dq_2+\frac{\partial z}{\partial q_3} dq_3
Піднесемо до квадрату і додамо.
Враховуючи ортогональність системи координат, подвоєні добутки згрупуються в суми рівні 0, і таким чином сума квадратів:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ds=[(\frac{\partial x}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_1})^2]{dq_1}^2 +[(\frac{\partial x}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_2})^2]{dq_2}^2 +[(\frac{\partial x}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_3})^2]{dq_3}^2
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [(\frac{\partial x}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_1})^2]
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [(\frac{\partial x}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_2})^2]
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [(\frac{\partial x}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_3})^2]
- коефіцієнти Ляме
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_i=\sqrt{(\frac{\partial x}{\partial q_i})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_i})^2 =(\frac{\partial z}{\partial q_i})^2}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,2,3
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ds^2=H_1^2 dq_1^2 +H_2^2 dq_2^2 +H_3^2 dq_3^2
Розглянемо приріст дуги координатної кривої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ds_i^2=H_i^2 dq_i^2, i=1,2,3
Коефіцієнт Ляме Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_i=\frac{ds_i}{dq_i}
- швидкість зміни дуги координатної кривої при зміні її координат.
В Декартовій системі координат:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_1=1 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_2=1 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_3=1
В циліндричній системі координат:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_\rho=1 ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_\varphi=\rho , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_z=1
В сферичній системі координат:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_r=1 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_\theta=r , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_\varphi=r\sin\theta
Градієнт, ротор, дивергенція
Нехай є довільна система Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (q_1,q_2,q_3)
і є одиничні вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec{a} =(a_{q_1},a_{q_2},a_{q_3})
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): grad\varphi=\frac{1}{H_1} \frac{\partial\varphi}{\partial q_1}\vec{e_1} +\frac{1}{H_2} \frac{\partial\varphi}{\partial q_2}\vec{e_2} +\frac{1}{H_3} \frac{\partial\varphi}{\partial q_3}\vec{e_3}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div\vec{a}=\frac{1}{H_1 H_2 H_3}[\frac{\partial(H_2 H_3 a_{q_1})}{\partial q_1} +\frac{\partial(H_1 H_3 a_{q_2})}{\partial q_2} +\frac{\partial(H_1 H_2 a_{q_3})}{\partial q_3}]
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): rot\vec{a}=\frac{1}{H_2 H_3}[\frac{\partial(a_{q_3}H_3)}{\partial q_2} -\frac{\partial(a_{q_2}H_2)}{\partial q_3}]\vec{e_1} +\frac{1}{H_3 H_1}[\frac{\partial(a_{q_1}H_1)}{\partial q_3} -\frac{\partial(a_{q_3}H_3)}{\partial q_1}]\vec{e_2} +\frac{1}{H_1 H_2}[\frac{\partial(a_{q_2}H_2)}{\partial q_1} -\frac{\partial(a_{q_1}H_1)}{\partial q_2}]\vec{e_3}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\vec{\nabla}^2=\frac{1}{H_1 H_2 H_3}[\frac{\partial}{\partial q_1}(\frac{H_2 H_3}{H_1} \frac{\partial}{\partial q_1}) +\frac{\partial}{\partial q_2}(\frac{H_1 H_3}{H_2} \frac{\partial}{\partial q_2}) +\frac{\partial}{\partial q_3}(\frac{H_1 H_2}{H_3} \frac{\partial}{\partial q_3})]
Виконав: Товсултанов Стас