Інтегральні синус, косинус, логарифм та показникова функція
Інтегральний синус — функція, визначена формулою:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin\, t}{t} dt
Визначається також функція:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{si}(x) = - \int\limits_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt =\operatorname{Si}(x) -\frac{\pi}{2}
Часткові значення:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Si}(0) = 0,\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \mbox{Si}(x) = \frac{\pi}{2},\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \mbox{si}(x) = 0
.
Властивості
- Інтегральний синус — непарна функція:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Si}(-x) = -\,\operatorname{Si}(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{si}(x) + \operatorname{si}(-x) = - \pi
- Інтегральний синус повязаний з інтегральною показниковою функцією співвідношенням:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{si}(x) = \frac{1}{2i} \left( \operatorname{Ei}(ix) - \operatorname{Ei}(-ix) \right)
- Для малих x Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Si}(x) \approx x
- З деякими іншими функціями інтегральний синус пов'язаний співвідношеннями:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_0^\infty e^{pt}\operatorname{si}(qt) dt = - \frac{1}{p} \arctan \frac{p}{q}, \quad \int_0^\infty \operatorname{si}^2(t) dt = \frac{\pi}{2},
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_0^\infty \sin(t) \operatorname{si}(t) dt = - \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^\infty \operatorname{Ci}(t) \operatorname{si}(t) dt = - \ln 2.
- Інтегральний синус задовольняє лінійне диференційне рівняння третього порядку
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): xf'''(x)\!+\!2f''(x)\!+\!xf'(x) = 0.
Розклад у ряд
Інтегральний синус можна розкласти в ряд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Si}(x) = \sum\limits_{n =0}^\infty \frac{ (-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}
За допомогою даного ряду визначається також інтегральний синус від комплексного аргументу.
Асимптотичний розклад для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{\rm Re} (x) \gg 1~
задається розбіжним рядом:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2} - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)
Інтегральний косинус — функція, визначена для додатних дійсних чисел формулою:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos\, t -1 }{t} dt = -\int\limits_x^\infty\frac{\cos t}{t}dt
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma
— стала Ейлера.
Також визначаються пов'язані функції:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,
Властивості
- Інтегральний косинус пов'язаний з інтегральною показниковою функцією співвідношенням:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Ci}(x) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{Ei}(ix) + \operatorname{Ei}(-ix) \right)
- Для малих x Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Ci}(x) \approx \gamma + \ln x
- З деякими іншими функціями інтегральний косинус пов'язаний співвідношеннями:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \quad \int_0^\infty \operatorname{si}^2(t) dt = \frac{\pi}{2},
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_0^\infty \sin(t) \operatorname{si}(t) dt = - \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^\infty \operatorname{Ci}(t) \operatorname{si}(t) dt = - \ln 2.
Розклад у ряд
Інтегральний косинус можна розкласти в ряд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum\limits_{n =1}^\infty \frac{ (-1)^n x^{2n}}{2n(2n)!}
За допомогою даного ряду визначається також інтегральний косинус від комплексного аргументу. Як функція комплексної змінної інтегральний косинус аналітичний на комплексній площині з розрізом вздовж від'ємної дійсної півосі.
Асимптотичний розклад для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{\rm Re} (x) \gg 1~
задається розбіжним рядом
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)
