Відмінності між версіями «Інтегральні синус, косинус, логарифм та показникова функція»
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | + | =Інтегральний синус= | |
| − | [[Файл: | + | [[Файл:Публикация156757658686456235.jpg|right|thumb|400px|Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]]] |
'''Інтегральний синус''' — [[функція (математика)|функція]], визначена [[формула|формулою]]: | '''Інтегральний синус''' — [[функція (математика)|функція]], визначена [[формула|формулою]]: | ||
: <math> \mbox{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin\, t}{t} dt </math> | : <math> \mbox{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin\, t}{t} dt </math> | ||
| Рядок 38: | Рядок 38: | ||
- \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)</math> | - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)</math> | ||
[[Файл:Sine cosine integral.svg|right|thumb|300px|Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]]] | [[Файл:Sine cosine integral.svg|right|thumb|300px|Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]]] | ||
| + | =Інтегральний косинус= | ||
'''Інтегральний косинус''' — [[функція (математика)|функція]], визначена для додатних [[дійсне число|дійсних чисел]] [[Формула|формулою]]: | '''Інтегральний косинус''' — [[функція (математика)|функція]], визначена для додатних [[дійсне число|дійсних чисел]] [[Формула|формулою]]: | ||
: <math> \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos\, t -1 }{t} dt = -\int\limits_x^\infty\frac{\cos t}{t}dt </math> | : <math> \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos\, t -1 }{t} dt = -\int\limits_x^\infty\frac{\cos t}{t}dt </math> | ||
| Рядок 64: | Рядок 65: | ||
:<math>{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) | :<math>{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) | ||
-\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)</math> | -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)</math> | ||
| + | =Інтегральна показникова функція= | ||
| + | '''Інтегральна показникова функція''' — [[функція (математика)|функція]], визначена [[інтеграл]]ом: | ||
| + | : <math> \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,dt.\,</math>, | ||
| + | |||
| + | де x>0 і береться власне значення інтегралу. | ||
| + | |||
| + | Інтегральна показникова фунція загального виду | ||
| + | : <math> E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n} dt </math>, | ||
| + | |||
| + | де <math> n = 0, 1, 2, \ldots </math>, x > 0. | ||
| + | [[Категорія:Спеціальні функції]] | ||
| + | =Інтегральний логарифм= | ||
| + | '''Інтегральний логарифм''' — [[Спеціальна функція]], визначена інтегралом | ||
| + | : <math>\mathrm{li}\,(x)=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}.</math> | ||
| + | Для зняття сингулярності <math>x=1</math> іноді застосовується '''здвинутий інтегральний логарифм''': | ||
| + | : <math>\mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}.</math> | ||
| + | Це дві функції пов"язані співвідношенням : | ||
| + | : <math>\mathrm{Li}\,(x)-\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots</math> | ||
| + | Інтегральний логарифм введений [[Леонард Ейлер|Леонардом Ейлером]] в 1768 році. | ||
| + | |||
| + | Інтегральний логарифм і [[інтегральна показникова функція]] пов"язані співвідношенням: | ||
| + | : <math>\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x).</math> | ||
| + | Інтегральний логарифм має єдиний [[додатній і від"ємний нуль|додатній нуль]] в точці <math>\mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots</math> ([[число Рамануджана — Солднера]]). | ||
| + | |||
| + | == Розклад у ряд == | ||
| + | Із <math>\mathrm{li}\,(x)</math> и <math>\mathrm{Ei}(\ln x)</math> випливає ряд: | ||
| + | : <math>\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!},</math> | ||
| + | где <math>\gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots</math> — [[стала Ейлера — Маскероні]]. | ||
| + | |||
| + | Швидше збігається ряд, виведений [[Рамануджан, Сріниваса Айенгор|Срінивасой Рамануджаном]]: | ||
| + | : <math>\mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}.</math> | ||
Версія за 11:26, 20 травня 2010
Зміст
Інтегральний синус
Інтегральний синус — функція, визначена формулою:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin\, t}{t} dt
Визначається також функція:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{si}(x) = - \int\limits_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt =\operatorname{Si}(x) -\frac{\pi}{2}
Часткові значення:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Si}(0) = 0,\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \mbox{Si}(x) = \frac{\pi}{2},\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \mbox{si}(x) = 0
.
Властивості
- Інтегральний синус — непарна функція:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Si}(-x) = -\,\operatorname{Si}(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{si}(x) + \operatorname{si}(-x) = - \pi
- Інтегральний синус повязаний з інтегральною показниковою функцією співвідношенням:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{si}(x) = \frac{1}{2i} \left( \operatorname{Ei}(ix) - \operatorname{Ei}(-ix) \right)
- Для малих x Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Si}(x) \approx x
- З деякими іншими функціями інтегральний синус пов'язаний співвідношеннями:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_0^\infty e^{pt}\operatorname{si}(qt) dt = - \frac{1}{p} \arctan \frac{p}{q}, \quad \int_0^\infty \operatorname{si}^2(t) dt = \frac{\pi}{2},
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_0^\infty \sin(t) \operatorname{si}(t) dt = - \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^\infty \operatorname{Ci}(t) \operatorname{si}(t) dt = - \ln 2.
- Інтегральний синус задовольняє лінійне диференційне рівняння третього порядку
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): xf'''(x)\!+\!2f''(x)\!+\!xf'(x) = 0.
Розклад у ряд
Інтегральний синус можна розкласти в ряд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Si}(x) = \sum\limits_{n =0}^\infty \frac{ (-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}
За допомогою даного ряду визначається також інтегральний синус від комплексного аргументу.
Асимптотичний розклад для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{\rm Re} (x) \gg 1~
задається розбіжним рядом:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2} - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)
Інтегральний косинус
Інтегральний косинус — функція, визначена для додатних дійсних чисел формулою:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos\, t -1 }{t} dt = -\int\limits_x^\infty\frac{\cos t}{t}dt
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma
— стала Ейлера.
Також визначаються пов'язані функції:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,
Властивості
- Інтегральний косинус пов'язаний з інтегральною показниковою функцією співвідношенням:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Ci}(x) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{Ei}(ix) + \operatorname{Ei}(-ix) \right)
- Для малих x Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Ci}(x) \approx \gamma + \ln x
- З деякими іншими функціями інтегральний косинус пов'язаний співвідношеннями:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \quad \int_0^\infty \operatorname{si}^2(t) dt = \frac{\pi}{2},
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_0^\infty \sin(t) \operatorname{si}(t) dt = - \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^\infty \operatorname{Ci}(t) \operatorname{si}(t) dt = - \ln 2.
Розклад у ряд
Інтегральний косинус можна розкласти в ряд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum\limits_{n =1}^\infty \frac{ (-1)^n x^{2n}}{2n(2n)!}
За допомогою даного ряду визначається також інтегральний косинус від комплексного аргументу. Як функція комплексної змінної інтегральний косинус аналітичний на комплексній площині з розрізом вздовж від'ємної дійсної півосі.
Асимптотичний розклад для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{\rm Re} (x) \gg 1~
задається розбіжним рядом
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)
Інтегральна показникова функція
Інтегральна показникова функція — функція, визначена інтегралом:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,dt.\,
,
де x>0 і береться власне значення інтегралу.
Інтегральна показникова фунція загального виду
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n} dt
,
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n = 0, 1, 2, \ldots , x > 0.
Інтегральний логарифм
Інтегральний логарифм — Спеціальна функція, визначена інтегралом
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{li}\,(x)=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}.
Для зняття сингулярності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x=1
іноді застосовується здвинутий інтегральний логарифм:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}.
Це дві функції пов"язані співвідношенням :
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{Li}\,(x)-\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots
Інтегральний логарифм введений Леонардом Ейлером в 1768 році.
Інтегральний логарифм і інтегральна показникова функція пов"язані співвідношенням:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x).
Інтегральний логарифм має єдиний додатній нуль в точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots
(число Рамануджана — Солднера).
Розклад у ряд
Із Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{li}\,(x)
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{Ei}(\ln x)
випливає ряд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!},
где Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots
— стала Ейлера — Маскероні.
Швидше збігається ряд, виведений Срінивасой Рамануджаном:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}.
