Косинус та синус перетворення Фур'є
- Розглянемо часткові випадки:
- 1.Нехай функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- парна ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) - парна , тоді : Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin(\alpha\ t)
- непарна , тоді :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(\alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}
- Якщо функція f(x)- довільна , визначена на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0;\infty)
, то парне продовження цієї функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f_{2}(x) = \begin{cases} f(x), x\geqslant{0} \\ f(-x),x<0 \\ \end{cases}}
- розвинення парного продовження:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}
- Для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {A(\alpha)}cos (\alpha\ x){d(\alpha)}
(*)
- 2.Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- непарна, тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) - непарна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin (\alpha\ t) - парна;Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(\alpha)}=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(\alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}
Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) - довільна, визначена на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0;\infty) , тоді непарне продовження буде:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{1}(x) = \begin{cases} f(x), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ f(-x), & x < 0\\ \end{cases}
- розвинення непарного продовження:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_1(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}
- Для будь-якогоНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(\alpha)}sin (\alpha\ x){d(\alpha)}
(**)
- Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty (\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(t)cos{t\alpha}dt)cos{x\alpha}dx
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt
називається Косинус-перетворенням функціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
, а функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {F(\alpha)}sin(\alpha\ x){d(\alpha)}
називається Оберненим косинус-перетворенням для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\Phi(\alpha)}={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt
- пряме сінус-перетворення функціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty {\phi(\alpha)}sin(\alpha\ x){d(\alpha)}
- обернене сінус перетворення функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
- Зауваження:
- В деякій літературі пряме синус та косинус-перетворення вводиться з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\frac{2}{\pi})
, а оберене з 1.
- Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
називають її Оригіналом , а функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\Phi(\alpha)}
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(\alpha)}
називають Образом функціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
у просторі відповідного перетворення.
- Додаткова інформація
- При кутовій зміні частоті, змінюється і циклічна частота при цьому косинус-перетвореняя представляє наступні дві формули:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_c(w)=2\int_0^\infty f(t)cos({2\pi}ft)dt
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty g_c(f)cos({2\pi}ft)df
- Якщо наша функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
визначена на інтервалі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (-L/2,L/2)
, то модель Фур'є буде:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a_k cos({2\pi}kx)/L)+b_k sin({2\pi}kx)/L)
- Так як визначено у формулі основна частота цієї Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f=1/L
і всіх вищих гармонік частоти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k є цілими кратними основної частоти. Тобто,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k=k/L=k\Delta f
.
- Зараз ми стикаємось з перспективою даючи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (L \to 0)
з якого слідує, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta f\to 0
і, отже, поняття гармонійної частоти перестане бути корисним.
- Для того, щоб врятувати ситуацію, ми повинні відокремлювати поняття фізичної частоти і номер гармоніки. Щоб зробити це, ми першим позначемо зміни, з тим, що ми можемо лікувати коефіцієнти Фур'є в залежності від частоти змінного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k
, яка приймає дискретні значення, кратні ΔF. Таким чином попереднє рівняння буде мати вигляд:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=a_0/(2)+\sum^{\infin}_{k=1}(a(f_k)cos({2\pi}x f_k)+b(f_k)sin({2\pi}x f_k)
- Також є такі формули косинус та синус перетворення Фур'є
- Косинус-перетворення Фур'є
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_c(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)e^{-i\varphi t}dt
- Синус-перетворення Фур'є
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_s(\varphi)={\sqrt{\frac{2}\pi}}\int_0^\infty f(t)sin(\varphi)dt
Виконала: Левченко Марина Олександрівна
