Зв`язок неперервного та дискретного на прикладі рівняння коливання струни

Питання про рух, перехід поступових кількісних змін в якісні, поява у цілого властивостей, яких не має жодна із його частинок, є одним із ключових питань сучасного фундаментального природознавства. Ці питання мають глибокі філософські коріння. Розвиток природних наук змушує ще і ще раз повертатися до них. Вчених XIX ст. вразило наявність хвильових властивостей у світла, який вони уявляли як потік дискретних частин. До глибокого перегляду фундаментальних понять привело в XX ст. створення квантової механіки. Виявилось, що дискретні і неперервні властивості матерії не можна протипоставити один одному, що вони нерозривно зв’язані між собою. Виявилась і друга важлива обставина. Аналіз багатьох явищ потребує поєднання дискретного і неперервного підходів. І питання про співвідношення тих і інших властивостей при побудові теорії виявляється далеко не простим. Від його успішного вирішення часто залежить, наскільки глибоко нам вдається розібратися в досліджуваному об'єкті. Розглянемо задачу, при рішенні якої було розвинуто ряд ключових ідей. Проведемо аналіз поведінки пружної струни, по якій ударили в початковий момент часу. Зупинимося раніше на системі, що складається з точкового вантажу масоюНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {m} , до якого прикріплені дві однакові пружні горизонтальні нитки завдовжки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac {l_0} {2} ,натягнуті силою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {F_0} (сила тяжіння відсутня). При відхиленні вантажу від положення рівноваги з'являється повертаюча сила, пропорційна відхиленню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F=-2F_0 sin\alpha=\frac {4F_0 u} {l_0} ,тоді згідно з другим законом Ньютона маємо: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac {d^2 u} {dt^2+w^2u}=0, w^2=\frac {4F_0}{(ml_0)} Рівняння описує коливання з круговою частотою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {w} :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {u=Asinwt+Bcoswt}

де константи А і B визначаються початковими положеннями і швидкістю вантажу. Ми вирішили завдання про коливання струни, уся маса якої зосереджена в центрі. Для однорідної струни з масою m і завдовжки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): l_0 це занадто глибоке наближення; розумніше замінити її набором із N кульок з масою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu=\frac {m} {N} ,розташованих на відстані Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): h=\frac {l_0} {N} і сполучених нитками, натягнутими силою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_0 (так міркували, зокрема, при виведенні рівнянь коливань струни Йоганн і Данило Бернуллі). Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_k - відхилення k-ої кульки від положення рівноваги, то за умови, що різниця у відхиленнях сусідніх кульок мала, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu a_k=\frac {mh} {l_0} \frac {d^2u_k} {dt^2}= F = \frac {F_0 u_{k+1}- 2u_k + u_{k-1}} {h}=>\frac {\partial^2 u_k} {\partial^2t^2}= \frac {F_ol_0} {m} \frac {u_{k+1}-2u_k - u_{k-1}} {h^2}

У межі при h →0 отримуємо вже відоме нам хвильове рівняння: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac {\partial^2 u} {\partial^2t^2}-c^2 \frac{\partial^2u} {\partial x^2}, c^2=\frac{F_0l_0} {m} 

Цей висновок рівняння уперше був зроблений Даламбером, який не лише записав вказане рівняння, але і знайшов його загальне рішення у вигляді суперпозиції двох хвиль Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {u=f(x+ct)+g(x-ct)} Проте використати це рішення для струни кінцевих розмірів непросто. Дійсно, після удару по струні управо і вліво йдуть хвилі. Вони доходять до кінців струни, відбиваються, йдуть у зворотний бік - встановлюється деякий режим, описувати який за допомогою отриманої формули незручно. Можливий інший шлях, запропонований Фур'є. Оскільки струна здійснює коливальні рухи, рішення задачі шукають у виді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {u=(Asinwt+Bcoswt)z(x)} ,що дає у результатіНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {u=\sum_{n=0}(A_n sinw_n t+B_n cosw_t )sin \frac {pinx} {l_0}}

Рішення знайшлося у вигляді суперпозиції стоячих хвиль, для яких на довжині струни укладається ціле число n півхвиль. Власні значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Lamda_n

визначають, з якою частотою може коливатися струна в конфігурації n-ої стоячої хвилі, форму якої описує власна функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {z_n=sin(\frac {pinx} {l_0})}

Знайдені рішення по виду сильно розрізняються. Рівноправність їх не 

очевидна. Це питання стало причиною дискусії в середині XVIII ст. (суперечка про струну) між Ейлером, Даламбером і Лагранжем. Дискусія дозволила переконатися не лише в еквівалентності двох рішень(адже початкове завдання має рішення і воно єдине!), але і краще розібратися в рівняннях. Рішення, отримане Фур'є, дає можливість з'ясувати співвідношення безперервного і дискретного в цьому завданні. Якщо ми маємо автомодельне рішення хвилевого рівняння у вигляді стоячої хвилі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {u=c_n (t)sin(\frac {pinx} {l_0})},

то виявиться, що для різних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {c_n (t)}
 виходять рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf {\frac {d^2C_2(t)}{dt^2}+w^2_nc_n(t)=0,n=0,1,2,....}
Але це знову рівняння коливання. Значить, струна виявляється 

еквівалентною нескінченній безлічі незалежних вантажів, що коливаються. Цікаво і інше: у безперервній задачі, що описує коливання струни, є дискретний набір власних частот. Неперервне і дискретне знову виявляються тісно пов'язаними.