Друга теорема двоїстості. Економічне тлумачення.

Теорема (друга теорема двоїстості для симетричних задач). Для того, щоб плани X* та Y* відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^*_{j}(\sum^{m}_{i=1} {a_{ij}y^*_{i}-c_{j})=0,j=\overline{1,n}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y^*_{i}(\sum^{n}_{j=1} {a_{ij}x^*_{j}-b_{i})=0,i=\overline{1,m}}

.

Економічний зміст другої теореми двоїстості стосовно оптимального плану X* прямої задачі. Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планом X*, витрати одного i-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг bі, то відповідна оцінка такого ресурсу уi* (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати нулю, тобто такий ресурс за даних умов Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його наявному обсягові bі, тобто його використано повністю, то він є « цінним» для виробництва, і його оцінка уi* буде строго більшою від нуля.

Економічне тлумачення другої теореми двоїстості щодо оптимального плану Y* двоїстої задачі: у разі, коли деяке j-те обмеження виконується як нерівність, тобто всі витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну Cj, виробництво такого виду продукції є недоцільним, і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції хj* дорівнює нулю. Якщо витрати на виробництво j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції cj, то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптимальний план прямої задачі хj* > 0. Ресурси, що використовуються для виробництва продукції, можна умовно поділити на дефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використання передбачене оптимальним планом прямої задачі. Якщо двоїста оцінка yi в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний i-тий ресурс використовується не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка yi >0, то i-й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називається дефіцитним.