Одноетапна Р-модель з імовірнісними обмеженнями. Алгоритм побудови розв’язувального правила. Приклад.

Формально задача записується у наступному вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P{x(\omega)\in G_0(\omega)}\rightarrow sup,

      (4.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P{x(\omega)\in G_i(\omega)}\ge\alpha_i,i=1,2,...,m

   (4.2)

Можна вказати наступні дев'ять попарно несумісних ситуацій взаємного розміщення множин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_i, i=0,1,2,

які показують всі можливі випадки.

1. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_1\cap G_2 \cap G_0 \ne \varnothing

2. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_1\cap G_2 \cap G_0 = \varnothing, G_1\cap G_2 = \varnothing, G_1\cap G_0 \ne \varnothing

3. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_1\cap G_2 \cap G_0 = \varnothing, G_1\cap G_2 \ne \varnothing, G_1\cap G_0 \ne \varnothing

4. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_1\cap G_2 \ne \varnothing, G_1\cap G_0 = \varnothing, G_2\cap G_0 \ne \varnothing

5. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_1\cap G_2 = \varnothing, G_1\cap G_0 \ne \varnothing, G_2\cap G_0 \ne \varnothing

6. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_1\cap G_2 = \varnothing, G_1\cap G_0 = \varnothing, G_2\cap G_0 = \varnothing

7. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_1\cap G_2 = \varnothing, G_1\cap G_0 \ne \varnothing, G_2\cap G_0 = \varnothing

8. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_1\cap G_2 = \varnothing, G_1\cap G_0 = \varnothing, G_2\cap G_0 \ne \varnothing

9. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_1\cap G_2 = G_1\cap G_0 = G_2\cap G_0 = \varnothing

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega_i

‒ множина тих Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega \in \Omega 
 при яких реалізується і-та ситуація і  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  p_i=P\Omega_i, i=1,...,9.

Розчленуємо множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U=\bigcup\limits_{k=0}^2 G_k

на 7 підмножин, які попарно не перетинаються, наступним чином:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U^1=G_0 \cap G_1 \cap G_2 ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U^2=(G_0 \cap G_1)\setminus G_0 \cap G_1\cap G_2 ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U^3=(G_0 \cap G_2) \setminus G_0 \cap G_1\cap G_2 ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U^4=(G_1 \cap G_2)\setminus G_0 \cap G_1\cap G_2 ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U^5=G_0\setminus [(G_0\cap G_1)\cup (G_0 \cap G_2)] ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U^6=G_1 \setminus [(G_0\cap G_1)\cup (G_1 \cap G_2)] ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U^7=G_2 \setminus [(G_0\cap G_2)\cup (G_1 \cap G_2)] ,

Очевидно, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U=\bigcup\limits_{j=0}^7 U^j; U^i \cap U^j = \varnothing

 Введемо змінні   Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  u_i^j

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_i^j=P{x\in U^j | i}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_i^j

- умовна ймовірність події Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x \in U^j
  за умови, що має місце і-та ситуація взаємного розміщення множин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  G_k

.

Мають місце співвідношення: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{7}_{j=1} u_i^j =1, i=1,...,9 . Задача (4.1)-(4.2) еквівалентна наступній задачі ЛП:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(u)=\sum^{9}_{i=1} p_i(u_i^1+u_i^2+u_i^3+u_i^5) \rightarrow sup? i=1,...,9 . (4.3)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(u)=\sum^{9}_{i=1} p_i(u_i^1+u_i^2+u_i^3+u_i^5) \rightarrow sup,

       (4.3)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{9}_{i=1} p_i(u_i^1+u_i^2+u_i^4+u_i^6) \geqslant \alpha_1

       (4.4)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{9}_{i=1} p_i(u_i^1+u_i^3+u_i^4+u_i^7) \geqslant \alpha_2

       (4.5)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{9}_{i=1}u_i^j =1 , i=1,...9,

       (4.6)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_i^j \geqslant 0 , i=1,...9, j=1,...,7

 .          (4.7)

Деякі зі змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_i^j

для окремих ситуацій рівні 0. Маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases} u_i^1=0, i=2,...,9, \\ u_i^2=0, i=4,6,8,9, \\ u_i^3=0, i=3,6,7,9,\\u_i^4=0, i=5,7,8,9 \end{cases}

         (4.8)

Побудуємо двоїсту задачу до задачі (4.3)-(4.8):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\lambda)=-\alpha_1 \lambda_1 - \alpha_2\lambda_2+ \sum^{9}_{i=1}\lambda_{i+2} \rightarrow inf

           (4.9)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases} \lambda_{i+2}\geqslant\begin{cases} p_i(1+\lambda_1+\lambda_2), i=1,\\ p_i(1+\lambda_1+\lambda_2)-\lambda_i^1, i=2,...,9,\end{cases}\\ \lambda_{i+2}\geqslant\begin{cases} p_i(1+\lambda_1), i=1,2,3,5,7,\\ p_i(1+\lambda_2)+\lambda_i^2, i=1,2,3,5,7,\end{cases}\\ \lambda_{i+2}\geqslant\begin{cases} p_i(1+\lambda_2), i=1,2,3,5,7,\\ p_i(1+\lambda_2)-\lambda_i^3, i=3,6,7,9,\end{cases}\\ \lambda_{i+2}\geqslant\begin{cases} p_i(\lambda_1+\lambda_2), i=1,2,3,4,6,\\ p_i(\lambda_1+\lambda_2)-\lambda_i^4, i=5,7,8,9,\end{cases}\\ \lambda_{i+2}\geqslant p_i, i=1,...,9,\\ \lambda_{i+2}\geqslant p_i\lambda_1, i=1,...,9,\\ \lambda_{i+2}\geqslant p_i\lambda_2, i=1,...,9, \end{cases}

             (4.10)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_1 \geqslant 0,\lambda_2 \geqslant 0

 (4.11)

Тут двоїсті змінні Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_1 ,\lambda_2

відповідають обмеженням (4.4) та (4.5) прямої задачі, змінні Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   \lambda_{i+2} (i=1,...,9) 
відповідають умовам (4.6), а  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   \lambda_i^j(i=1,...,9, j=1,2,3,4)
- умовам (4.8).

Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi_i^k (\lambda_1, \lambda_2), (i=1,...,9; k=1,...7)

лінійні функції змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   \lambda_1 ,\lambda_2 
які входять у праві частини умов (4.10), а через </math> лінійні функції змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  K(i)
- множину індексів, для яких відповідні умови із співвідношень (4.10) не містять змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \lambda_i^k

. Тоді нерівності (4.10) можна переписати у вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_{i+2}\geqslant \begin{cases}\phi_i^k, k\in K(i), \\ \phi_i^k - \lambda_i^k, k\notin K(i). \end{cases}

(4.12)

Маємо наступні функції:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi_i(\lambda_1,\lambda_2) = max_{k\in K(i)} {\phi_i^k (\lambda_1,\lambda_2)}

     (4.13)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i(\lambda_1,\lambda_2, \lambda_i^k) = max_{k \in K(i)} {\phi_i^k (\lambda_1,\lambda_2) - \lambda_i^k }

    (4.14)

Тоді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_i+2 \geqslant max {\phi_i, \zeta_i}

    (4.15)

Лема 4.1. На оптимальному плані задачі (4.9)-(4.11) мають місце рівності

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_i+2 = phi_i(\lambda_1,\lambda_2), (i=1,…9)

    (4.16)

Теорема 4.2. Якщо умови задачі (4.1)-(4.2) сумісні, то supf(x)за умов (4.4.)-(4.7) рівний найменшому з семи чисел:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_1=(1-\alpha_1)+p_1-p_9,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_2=(1-\alpha_2)+1-p_3-p_6-p_7-p_9,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_3=2(1-\alpha_1)+(1-\alpha_2)+p_1-p_8-p_9,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_4=(1-\alpha_1)+1-p_4-p_6-p_8-p_9,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_5=(1-\alpha_1)+2(1-\alpha_2)+p_1-p_7-p_9,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_6={1/2}[(1-\alpha_1)+(1-\alpha_2)+1-p_1-p_6-p_9],

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_7=1

Умова Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(u)-S_k

разом з обмеженнями (4.10), (4.11) висікає множину оптимальних планів задачі. Для кожного набору параметрів умов задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  (\alpha_1,\alpha_2,p_i) 
оптимальні значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  u_i^j 
належать одній з семи множин. Використовуючи другу теорему двоїстості лінійного програмування, можна виділити серед компонент розв'язку "вільні" та "закріплені".  Таким чином отримаємо можливість, не розв'язуючи задачі, визначити оптимальні значення частини змінних   , незалежно від реалізації випадкових параметрів умов задачі. Маючи на увазі, крім цього, співвідношення (4.8), отримаємо таблицю 4.1.

Використовуючи таблицю 4.1. можна спростити рівняння і нерівності, які визначають сім (по числу Sk) можливих багатогранних множин оптимальних планів задачі (4.3)-(4.7). Маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases} p_2(u_2^2+u_2^4)+ p_4 u_4^4+ p_5 u_5^2+ p_9 u_9^6 =\alpha_1 - p_1 - p_3 - p_6 - p_7,\\ p_2(u_2^2+u_2^4)+ p_4 u_3^4 + p_5 u_5^2+ p_9 u_9^6 =\alpha_2 - p_1 - p_4 - p_6 - p_8,\\ u_2^2 +u_2^3+u_2^4=1, u_3^2+u_3^4 =1, \\ u_4^3 +u_4^4=1, u_5^2+u_5^3 =1,\\ u_9^2 +u_9^6+u_9^7=1, u_i^j \geqslant 0 \end{cases}

 (4.19)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases} p_3(u_3^2+u_3^5)+ p_6 u_6^5+ p_7( u_7^2+u_7^5)+p_9 u_9^5 =1-\alpha_2,\\ p_2u_1^1+ p_3 (u_3^2 u_3^4)+ p_6 u_6^4 + p_7 u_7^2=\alpha_1 \\ u_1^1 +u_1^3=1, u_3^2+u_3^4 + u_3^5+u_3^7=1, \\ u_5^4 +u_6^5+u_6^7=1, u_7^2+u_7^5+u_7^7 =1,\\ u_5^9 +u_9^7=1, u_i^j \geqslant 0 \end{cases}

 (4.20)

Таким чином, маємо:

Наслідок 4.2. Множина оптимальних планів задачі (4.3)-(4.7) визначається таблицею 4.1. та однією з систем (4.19)-(4.25) (в залежності від значень α2, α1, та pi).

Теорема 4.3. Якщо задача (4.1)-(4.2) сумісна, то існує ф-я Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x*(\omega)

 яка є розв'язком задачі. При цьому, якщо верхня грань цільового функціонала Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  S(\alpha_1,\alpha_2)
 рівна k-му числу системи, яка визначається теоремою 4.2., тоді розв'язки задачі і тільки вони задовольняють умовам (4.2) та k-му рівнянню наступної системи:

Приклад. Розглянемо наступну задачу стохастичного програмування:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{c(\omega) x(\omega) \geqslant L{\omega) } \rightarrow sup,

 (4.26)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases} P\{A(\omega) x(\omega) \leqslant b{\omega)} \geqslant \alpha_1,\\ P{x(\omega) \geqslant 0} \geqslant \alpha_2\end{cases}

 (4.27)

Припускається, що вип. вел. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L(\omega)

 , всі компоненти вип. векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   c(\omega) i b(\omega)
та елементи вип. матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   A(\omega)
невід'ємні майже при всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   \omega
Тоді з ймовірністю 1 множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  G_1 \cap G_2 \ne \varnothing 

.

Нехай крім цього Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P \{ c(\omega) =0. . Це означає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_1 \cap G_2 \ne \varnothing

з ймовірністю 1.

Таким чином, з 9 ситуацій з додатною ймовірністю з'язляються тільки 3: 1, 2, 4. Тобто: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_3=p_5=p_6=p_7=p_8=p_9=0

  (4.28)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_1=p_2=p_4=1

  (4.29)

Випишемо, враховуючи (4.28)-(4.29), можливі значення верхньої грані цільової функції задачі (4.1)-(4.2):

Очевидно, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_2\geqslant S_1, S_5 \geqslant S_1 . Крім цього, якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_1 < 1

то  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  S_6 , S_1

. Якщо ж Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_1 \geqslant 1

то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  S_6 \geqslant 1

.Отже, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_2 \geqslant S_7 . Тобто оптимальне значення цільової функції задачі (4.1)-(4.2) може дорівнювати одному з 3-х чисел Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S_1, S_4, S_7 . Розглянемо ці випадки послідовно:

А) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S(\alpha_1,\alpha_2)=S_1= (1-\alpha_1)+(1-\alpha_2)+p_1