Задача СП. М-модель з імовірнісними обмеженнями з детермінованою матрицею коефіцієнтів обмежень. Детермінована задача. Двоїста задача.

Розглянемо задачу лінійного стохастичного програмування з ймовірнісними обмеженнями типу М-модель:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(cx)\rightarrow max

(1.1),

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(\sum^{n}_{j=1}{a_{ij}x_{j}}\leqslant b_{i})\geqslant \alpha_{i},i=1,\ldots,m

(1.2),

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j}\geqslant 0,j=1,\ldots,n

(1.3)

C – випадкові числа, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{i}>0,5, \alpha_{i}<1

При детермінованій матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A=||a_{ij}||

і випадковому веторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b=(b_{ij})
дана задача  зводиться до детермінованої  задачі лінійного програмування.

Дійсно, нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi(b_{1}...b_{m})

– загальна щільність розподілу елементів  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
випадкового вектора b. Щільність розподілу компонента Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}
рівна:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi_{i}(b_{i})= \int\limits_{\infty}^{\infty}... \int\limits_{\infty}^{\infty}\phi(b_{1}...b_{m})\prod^{j\not=i}db_{j}

Знайдемо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b_i}

з рівняння:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_{\tilde{b_i}}^{\infty}\phi_{i}(b_{i})db_{i}=\alpha_{i} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m

(1.4)

Якщо рішення рівняння (1.4) не єдине, то обирається в якості Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b_i}

  найбільший корінь.

Відношення (1.2) еквівалентне нерівності

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{n}_{j=1}{a_{ij}x_{j}}\leqslant\tilde{b_i} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,\ldots,m , Де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b_i}

  задовольняють відношенням (1.4).

Звідси випливає еквівалентність задачі стохастичного програмування (1.1) – (1.3) і детермінованої задачі лінійного програмування

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}x\rightarrow max

(1.5)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Ax\leqslant\tilde{b}

(1.6)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geqslant 0

(1.7)

Де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}= M(c) ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b}=(\tilde{b_1}...\tilde{b_m})

Якщо випадкові величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}

 арактеризуються функцією розподілу  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{i}(b_{i})

,

то параметр Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b_i}

представляє собою найбільше число, яке задовольняє нерівність Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 1-F_{i}(\tilde{b_i})\geqslant\alpha_{i}
.

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{i}(b_{i})

– неперервна строго монотонна функція, то остання нерівність еквівалентнa рівнянню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 1-F_{i}(\tilde{b_i})=\alpha_{i}
.

У всіх випадках будемо записувати Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b}= F_{i}^{-1}(1-\alpha_{i}) , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{i}^{-1}(t)=\sup(y|F_{i}(y)\geqslant t) . (1.8)

Для стохастичної задачі (1.1)-(1.3) з детермінованою матрицею А, тобто для задачі (1.5)-(1.7), можна записати двоїсту задачу з ймовірнісними обмеженнями.

Розглянемо задачу

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y\tilde{b}\rightarrow min

(1.9)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(yA\geqslant c)\geqslant\beta

(1.10)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y\geqslant o

(1.11)

Розв'язок якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): у*

визначається у вигляді детермінованого вектора.

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{j}(\zeta)=P(c_{j}\leqslant\zeta) .

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{j}(\zeta)=\beta{j} , то запис Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta=G_{j}^{-1}(\beta{j}) ) будемо вважати еквіваленою запису

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta = min (y|G_{i}(y)\geqslant \beta{j}) .

Попередня задача (1.9)-(1.11) буде записана у вигляді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y\tilde{b}\rightarrow min ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): yA\geqslant G^{-1}(\beta) ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y\geqslant o .

Порівнюючи останню задачу з початковою (1.1)-(1.3) отримуємо, що при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \beta=G(\bar{c})

 наступні дві одно етапні задачі стохастичного програмування з ймовірнісними умовами та апріорними розв’язувальними правилами являють собою двоїсту пару :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G^{-1}(\beta)x\rightarrow max ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(Ax\leqslant b)\geqslant\alpha ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\geqslant 0 ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): yF^{-1}(1-\alpha)\rightarrow min ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(yA\geqslant c)\leqslant\beta ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y\geqslant 0 ,

Де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha=(alpha_{i})

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \beta=(beta_{j})
, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F^{-1}= (F^{-1}_{i})

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G^{-1}= (G^{-1}_{j}) .

Отриманий результат дозволяє для розглядуваного випадку стохастичних задач з ймовірнісними обмеженнями використовувати інтерпретації теорем двоїстості для якісного аналізу розв'язку і оцінки параметрів задачі.

 F^(-1)={F_j^(-1) },   G^(-1)={G_j^(-1) }.