Задача з імовірнісніми обмеженнями. Загальний випадок.

Наведемо 3 форми запису ймовірнісних умов для загального випадку:

• а) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\leq{0}\}\geq{\alpha_{i}}

• б) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}

• в) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i_{k}}(x)\leq{0},i_{k}\subset{I_{k}}\}\geq{\alpha_{i_{k}}}

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}

- вектор-функція, компоненти якої залежать від випадкових параметрів ω.

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{ix}(t)

- безумовна функція розподілу випадкової величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)
для заданого x, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)
- сумісна функція розподілу системи випадкових величин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{ix}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{t}}{\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty}}\,d{F_{x}}(f_1,\ldots,f_m)

Припущення:

• а) залежності тільки між випадковими параметрами, що знаходяться в одному рядку;
• б) всі випадкові параметри можуть бути залежними;
• в) випадкові параметри, що відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{i_{k}}

для різних k незалежні між собою.

Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\{g_{1}(x),\ldots,g_{m}(x)\} – детермінований вектор. область зміни компонент якого для кожного x обмежується діапазоном зміни відповідної випадкової величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x) .

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g_{i}(x)\in\{\inf{f_{i}(x)},\sup{f_{i}(x)}\}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq{F_{ix}(g_{i}(x))=P\{f_{i}(x)\leq{g_{i}(x)}}\}\leq{1}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{x}(g(x))=P\{f_{1}(x)\leq{g_{1}(x)},\ldots,f_{m}(x)\leq{g_{m}(x)}\}=P\{f(x)\leq{g(x)}\}

Введені поняття дозволяють сформулювати детерміновані задачі, розв’язки яких співпадають з розв’язками відповідних стохастичних задач з ймовірнісними обмеженнями. Такі задачі називають детермінованими еквівалентами стохастичної задачі.

Задача (б)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to\max

                                                                                                        (1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(x)\leq{0}\}\geq{\alpha}

                                                                                           (2)

Детермінований еквівалент цієї задачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{0}(x)\to{\max}

                                                                                                      (3)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{x}(g(x))={\alpha}

                                                                                                  (4)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)\leq{0}

                                                                                                            (5)

Теорема:

Якщо сумісна функція розподілу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F(x)

компонент випадкового вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\{f_1(x),\ldots,f_m(x)\}
неперервна при будь-якому x, то задача (3)-(5) є детермінованим еквівалентом стохастичної задачі (1)-(2).

Доведення:

Оскільки цільові функції обох задач однакові, то ми доведемо теорему, якщо впевнимося, що обидві задачі мають одну й ту саму область визначення.

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\tilde{x})

задовольняє умовам задачі (3)-(5).

З Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~F_{\tilde{x}}(g(\tilde{x}))={\alpha}

випливає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~P\{f(\tilde{x})\leq{g(\tilde{x})}\}={\alpha}

А з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(\tilde{x})\leq{0}

випливає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\tilde{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}

Тобто,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{x}

задовольняє умовам стохастичної задачі.

Нехай тепер Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{x}

– план задачі (1)-(2) з ймовірнісним обмеженням Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f(\hat{x})\leq{0}\}\geq{\alpha}

Розділимо для кожного x номера компонент вектора f(x) на 3 множини: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): I_{x}^{(1)},I_{x}^{(2)},I_{x}^{(3)}

• Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(1)}

,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)

– детермінована величина;

• Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(2)}

,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)

- випадкова величина з від’ємною верхньою гранню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_{i}(x)\leq{\bar{f_{i}}(x)}<0 

• Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i\in I_{x}^{(3)}

,якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~f_{i}(x)

– випадкова величина, для якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{f_{i}(x)\geq{0}\}>0

.