Трохи історії. Системи числення
Зміст
Трохи історії
На зорі появи цифр. Давно, дуже давно це було. Людина сиділа біля водопою, сховавшись в кущах, і чекав звіра. До води підійшов олень з великими гіллястими рогами. Мисливець загнув палець на руці. Потім до водопою вийшов безрогі олень. Мисливець загнув ще один палець. Всю ніч просидів у засідці мисливець, але більше жодного звіра не побачив. Вранці він розповідав старшому одноплемінникові про свої спостереження: - Сиджу, дивлюся, вийшов до водопою рогата олень (мисливець для підтвердження поклав на долоню незграбний камінчик), а потім вийшов безрогі олень (поклав поруч з першим овальний камінець). Більше звірів не було до ранку. - Так до водопою спочатку підійшов один олень, а потім ще один? - Перепитав родич і підняв два пальці. - Так, - відповів мисливець. До наступної ночі старший зібрав велику групу чоловіків з списами. Він ретельно продумав, куди посадити одного мисливця, куди - двох, а куди й трьох. Всі були розміщені у водопою так, щоб підійшов олень потрапив в оточення. Полювання була вдалою. Цей випадок показує, що вже на зорі розвитку людського суспільства люди помічали, що різні групи предметів - звірі, мисливці, камені - можуть мати одне і те ж число: два пальці, два звіра, два камені і т. д. У наші дні про це знає будь-який першокласник. Якщо розкласти навпроти один одного, наприклад, гуртки і палички, неважко переконатися, що гуртків виявиться стільки ж, скільки паличок. Цим ми встановлюємо взаємно-однозначна відповідність. Так і первісні люди, зіставляючи одну групу (безліч) предметів з іншого (іншим множиною), бачили схожість і відмінність обох груп (множин). У той далекий час розуміння того, що одна група (безліч) може бути схожа на іншу (безліч), стало для людини величезним просуванням в його розвитку. Це було найбільшим відкриттям. Воно допомогло людям навчитися бачити взаємно-однозначна відповідність предметів двох множин, а потім і вважати ці предмети. Поступове вдосконалення життєвого укладу первісних людей сприяло виникненню у них потреби вважати, але пройшли десятки століть, перш ніж люди придбали це вміння. Спочатку людина навчилася виділяти одиничні предмети. Наприклад, зі зграї вовків, стада оленів він виділяв одного ватажка, з виводка пташенят - одного пташеняти і т. д Навчившись виділяти один предмет з безлічі інших, говорили: «один», а якщо їх було більше - «багато» Навіть для назви числа «один» часто користувалися словом, яким позначався одиничний предмет, наприклад: «місяць», «сонце». Такий збіг назви предмета і числа збереглася в мові деяких народів до наших днів. Часті спостереження множин, що складаються з пари предметів (очі, вуха, крила, руки), призвели людини до уявлення про числі два. До цих пір слово «два» на деяких мовах звучить так само, як «очі» або «крила». У деяких племенах Австралії довгий час користувалися тільки числами «один» і «два», а всі інші називали, повторюючи ці числа або кажучи «багато». В одному з австралійських племен вважали інакше. Один називали «малий», два - «булан», три - «гуліба», тобто назви мали тільки три перші числа, а інші числа, наприклад 4, називали «булан-булан» і т. д. Ці історичні факти показують, як люди вчилися рахувати. Так як в далекі часи спілкування між різними народами було ускладнено, способи рахунку та назви чисел у різних місцях однієї країни були неоднакові. З появою міст і кам'яних споруд все більше людей почали займатися писемністю і началами математики. Найбільш обізнані придумали спеціальні знаки для запису чисел. Ці знаки, що виконують роль цифр, були зручні для читання, але для їх запису було потрібно досить багато часу. Перший спосіб позначення чисел, що приходить на думку, - паличками. Що може бути легше? Одна паличка значить один, два - два і так далі. Ось одна цікава історія про таку нумерації. У березні 1917 р. жителі Ленінграда (тоді - Петрограда) були не мало спантеличені й навіть стривожені таємничими знаками, що з'явилися, невідомо як, біля дверей багатьох квартир. Поголос приписувала цим знакам різноманітні значення. Вони мали форму рисок, що чергуються з хрестами. Пішли зловісні чутки про грабіжницьких зграйках, що позначають квартири майбутніх жертв. «Комісар тимчасового уряду по м. Петрограду», заспокоюючи населення, стверджував, що «таємничі знаки, які чиєїсь невидимою рукою робляться на дверях мирних обивателів у вигляді хрестів, букв, фігур, як з'ясувалося по зробленому дізнанню, робляться провокаторами та німецькими шпигунами »; він запрошував мешканців ці знаки прати і знищувати,« а у разі виявлення осіб, які займаються цією роботою, затримувати і спрямовувати за призначенням ». Подібні знаки помічені в багатьох будинках на чорних сходах біля дверей квартир. Зазвичай знаки цього типу є у всіх хводних дверей даного будинку, причому в межах одного будинку двох однакових знаків не спостерігається. Їх похмуре накреслення, природно, внушаеат тривогу мешканцям. Між тим, сенс їх легко розкривається, якщо зіставити їх з номерами відповідних квартир. Неважко здогадатися тепер, що хрести означають десятки, а палички - одиниці; так виявилося у всіх без винятку випадках. Ця своєрідна нумерація, очевидно, належить двірникам-китайцям, не розумів наших цифр.
Старовинні способи нумерації
Більш складний спосіб позначення чисел був придуманий римлянами. Вони записували числа черточкмі, і часу для цього було потрібно менше. Вчені припускають, що римська п'ятірка - це спрощене зображення руки з п'ятьма розчепіреними пальцями, а десять - це дві складені разом п'ятірні. За старих часів на Русі цифри позначалися буквами. Для вказівки того, що знак є не буквою, а цифрою, зверху над ним ставилося спеціальний знак «~», званий «титло» (див. рис.). Тисячі позначалися тими ж літерами з «титлами», що і перші дев'ять цифр, але у них зліва внизу ставилося спеціальний знак. Десятки тисяч називалися «тьми», і їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками. Звідси походить вираз «Пітьма народу», тобто дуже багато народу. Сотні тисяч називалися «легіонами» («легеонамі»), їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками з точок. Мільйони називалися «леодрамі». Їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками з променів чи коми. Десятки мільйонів називалися «воронами» або «брехнею», і їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками їх хрестиків або ставлячи по обидві сторони букви букву К. Сотні мільйонів називалися «колодами». «Колода» мала спеціальне позначення: над буквою і під нею ставили квадратні дужки. Решта числа записувалися літерами зліва направо. При запису великих чисел, ніж тисячі, у практичній діяльності часто замість гуртків знак, що позначає тисячу, ставили перед буквами, що позначали десятки і сотні. У наведеній системі позначення чисел не йшли далі тисяч мільйонів. Такий рахунок називався «малий рахунок». У деяких рукописах авторами розглядався і «великий рахунок», що доходив до числа 10 50. Далі говорилося: «І більше від цього несть людському розуму разумети». У джерелі № 2 повідомляється, що темрявою називали 106, легеоном - 10 12, леодром - 10 24, вороному - 10 48, а колодою, найбільшим числом великого рахунку, - 10 49. У тому, що далі жовтня 1950 рахунок не вівся обидва джерела згодні. Схожа нумерація існувала у греков.Для нумерації чисел грецькі математики придумали алфавітну нумерацію. Перша літера їх алфавіту - альфа позначала 1, друга - бета - 2 і т. д. У дореволюційний час на речі, куплених у офенею або в приватних магазинах, особливо провінційних, можна було часто помітити незрозумілі літерні позначення на зразок а ві в уо. Це не що інше, як ціна речі без запиту, яку торговець позначав на товарі, але так, проте, щоб її не міг розгадати покупець. Кинувши погляд на ці букви, торговець відразу проникав у їх прихований зміст і, зробивши надбавку, називав покупцеві ціну із запитом. Система позначень була дуже проста. Торговець вибирав якесь слово, складене з 10 різних букв; найчастіше зупиняли вибір на словах: працьовитість, правосуддя, ярославец', міролюбец', Міралюбов'. Перша літера слова позначала-1, друга - 2, третя - 3 і т д; десятою буквою позначався нуль За допомогою цих умовних літер-цифр торговець позначав на товарах їх ціну, зберігаючи в строгому секреті «ключ» до своєї системи прибутків. Якщо наприклад, вибрано було слово правосуддя 1234567890 то ціна 4 р. 75 к. позначалася так: в уо.
Іноді ціна на товарі писалася у вигляді дробу, наприклад: __е тро
Це значить при ключі «працьовитість», що треба запросити 1 карб. 25 коп, собі ж книжка коштувала 50 коп. [№ 1, стор 13-14] «Нумерація» в той час давно вже була у широкому вжитку і зрозуміла була кожному, навіть неграмотному селянинові. Сходить вона, без сумніву, до глибокої давнини і споживані була не тільки у нас. Така нумерація називається «народної». Цікаво, що ця народна нумерація була колись у нас навіть узаконена: за такий саме системі, тільки більш розвиненою, повинні були вестися збирачами податей записи в податковий зошити. «Складальник, - читаємо ми в старому« Зводі законів », - приймаючи від кого-небудь з домохозяєв вносяться до нього гроші, повинен сам, або через писаря, за-писати в податковий зошити проти імені того господаря, якого числа скільки отримано грошей, виставляючи кількість прийнятої суми цифрами і знаками. Знаки оці для зведення всіх і кожного ввести повсюдно однакові, а саме: В іншому місці того ж тому «Зводу законів» знаходимо ще раз згадка про обов'язкове вживанні народних числових позначень. Наводяться особливі знаки для тисячі рублів-у вигляді шестикутної зірки з хрестом в ній, і для ста рублів - у вигляді колеса з 8 спицями. Але позначення для рубля і десяти копійок тут встановлюються інші, ніж у попередньому законі. Ось текст закону про цих так званих «ясачних знаки»: «Щоб на кожній квитанції, яка видається родовитому Старості, від якого внесено буде ясак, крім викладу словами, було показиваемо особливими знаками число внесених рублів і копійок так, щоб здають простим рахунком цього числа могли бути впевнені у справедливості свідчення *. Наведені у квитанції знаки означають: (зірка) тисяча рублів, (колесо) сто рублів, (квадрат) десять рублів, X один карбованець, ||||| | | | | десять коп., | Копійку. «Щоб не можна було зробити тут ніяких додатків, всі такі знаки окреслювати колом прямими лініями». Наприклад, 1232 р. 24 к. зображають так, як показано на малюнку. Як бачите, що вживаються нами арабські і римські цифри - не єдиний спосіб позначення чисел. За старих часів застосовувалися у нас, та ще й тепер подекуди по селах застосовуються інші системи письмового числення, віддалено схожі з римськими і зовсім не схожі з арабськими цифрами.
Поява систем числення.
Як вже було сказано, в деяких співтовариствах для рахунку використовувалися пальці рук, однак цей спосіб годився лише в межах 10. Де-не-де прогрес пішов далі: до рахунку долучали і пальці ніг, але все одно залишалася проблема з числами більше 20. Вихід знайшовся: рахувати на пальцях до 10, а потім починати спочатку, окремо підраховуючи кількість десятків. Система числення на основі десяти виникла як природний розвиток пальцевого рахунку. Існувало, однак, кілька відхилень від цієї системи. Наприклад, 4000 років тому жителі Стародавнього Вавилону використовували систему рахунку до 60. Сліди шестидесятеричной системи в наш час збереглися в розподілі години і кутового градуса на 60 хвилин, а хвилини - на 60 секунд. У міру розвитку мовлення люди почали використовувати слова для позначення чисел. Відпала необхідність показувати кому-то пальці, камінці або реальні предме-ш, щоб назвати їх кількість. Для зображення чисел стали застосовуватися малюнки, креслення або символи. Наприклад, для відповіді на питання «Скільки овець у стаді?» Досить намалювати чи накреслити групу тварин. Але вважати можна набагато швидше, застосовуючи для позначення чисел будь-які символи. Єгиптяни для чисел до 9 використовували послідовності простих штрихів і спеціальний символ - для 10. Вавілоняни мали аналогічну систему, а римляни ввели новий символ при досягненні 5. Існували і системи з окремими символами для кожної цифри до 9 включно, як в арабській системі числення, яку ми зараз використовуємо, а у греків був спеціальний символ і для 10. З'явилася десяткова система, ймовірно, в Індії. Вибір графічних зображень для цифр, зрозуміло, не є принциповим. Сучасні зображення цифр - проста стилізація древніх арабських цифр. Марокканський історик Абделькарім Боужібар вважає, що арабським цифрам у їх первісному варіанті було надано значення в суворій відповідності з числом кутів, які утворюють фігури. У десятковій системі кожна цифра несе подвійну інформацію: своє власне значення і місце, яке вона займає в записі числа (розряд). Такі системи числення називаються позиційними. Римську систему числення можна швидше назвати адитивної, оскільки чосло утворюється при додаванні і відніманні значень спеціальних значків. У адитивних системах числення виконувати арифметичні дії безнадійно - не дивно, що такі системи не прижилися. Ось запис із щоденника одного математика: «Я закінчив курс університету 44 років від роду. Через рік, 100-річним хлопцем, я одружився на 34-річній дівчині. Незначна різниця у віці - лише 11 років - сприяла тому, що ми жили спільними інтересами та мріями. Через трохи років у мене була вже й маленька сім'я з 10 дітей. Платні я отримував на місяць всього 200 рублів, з яких 1 / 10 мені доводилося віддавати сестрі, так що ми з дітьми жили на 130 руб. на місяць »і т. д. На перший погляд дивна біографія, але тільки на перший. Розберемося в чому тут справа. А вся справа в тому, що уривок написаний з використанням недесятерічной системи числення, такої звичної для більшості людей. Можна легко здогадатися, яку саме систему використовував автор. Секрет видається фразою: «Через рік (Полсен 44 років), 100-річним хлопцем ...» Якщо в від збільшення однієї одиниці числа 44 перетворюється в 100, значить цифра 4 - найбільша в цій системі числення, тобто основою системи є 5 . Трохи складніше перевести інші числа в «рідну» десяткову. Наприклад, нескладно здогадатися, що одна одиниця третього розряду дорівнює 5 в другому ступені, тобто 25 (так само в десятковій системі одна одиниця третього розряду дорівнює 100, тобто 10 2). А одиниця другого розряду дорівнює 5 1, третього - 5 0. Тепер нескладно відновити реальну біографію дивака-автора. При бажанні можна створити власну біографію в такому ж роді. Скажімо, вам 17 років. Скористаємося для запису віку четвертинної системою числення. Розділимо 17 на 4: 17: 4 = 4, залишок 1 Залишок - це і є число одиниць першого розряду. Результат цілочисельного ділення знову поділимо на 4: 4: 4 = 1, залишок 0 Тепер залишок - число одиниць другого розряду. Ну а останнє приватне - одиниці третього розряду. Тепер складемо з наших відповідей число. Отримали 101, тобто 17 жовтня = 101 4. Перешкода може виникнути внаслідок того, що в деяких випадках не буде діставати позначень цифр. При зображенні чисел в системах з підставами більше 10 може з'явитися потреба в цифрах «десять», «одинадцять» і т. д. Зазвичай для позначення їх застосовують латинський алфавіт: «десять» позначають буквою «А», «одинадцять» - буквою «В». Коли літери закінчуються, нічого не поробиш - доведеться позначати двома, трьома буквами відразу, та ще й обводити, скажімо, кружечком, щоб було видно, що це цифра, а не двозначне число. Неважко виробляти арифметичні дії в різних системах числення. Тільки треба пам'ятати, що переходити через розряд треба, коли цифра перевищує максимально допустиму в даній системі. Легко здогадатися, що для будь-якої системи така цифра на одиницю менше підстави. Зауважимо, що в самій «маленькою» із систем - двійковій - виконувати різноманітні арифметичні дії з точки зору розумового навантаження легше за все, хоча для цього знадобиться багато часу і паперу (якщо вважати стовпчиком). Ну а в цілому це справа звички. Легко довести, що в будь-якій системі числення виконуються такі положення (якщо в системі є відповідні цифри): 121: 11 = 11 144: 12 = 12 21 • 21 = 441.
Різні пристосування для запам'ятовування чисел.
Ймовірно, самий древній спосіб запам'ятовування чисел - камінчиками. Скільки камінчиків - стільки речей треба запам'ятати. Коли камінців не стало вистачати, людина придумала розрядність (системи числення). Число в такому вигляді записати легше, наприклад, за допомогою вузликів. Так робили стародавні перуанці, зав'язуючи вузлики на кількох сплетених разом мотузках. Такий «прилад» називався «квіпос». Він був у принципі еквівалентний наших рахунків і, без сумніву, пов'язаний з ними спільністю походження. На таких рахунках одноразово зав'язаний вузол означав 10, дворазово - 100 і т. д. Однак користуватися таким приладом нелегко: на зав'язування - перев'язування вузликів йде багато часу. Вихід знайшовся - зробити систему рухомого. Стародавні народи - єгиптяни, греки, римляни - вживали при обчисленнях рахунковий прилад «абак». Це була дошка (стіл), розграфлений на смуги, по яких пересували особливі шашки, що грали роль кісточок наших рахунків Такий вигляд мав грецький абак Абак римський мав форму мідної дошки з жолобами (прорізами), в яких пересувалися кнопки. Споріднений абаку перуанський «квіпос» - ряд ременів або мотузок з зав'язаними на них вузлами цей рахунковий прилад отримає особливе поширення серед перших мешканців Південної Америки, але, без сумніву, був у вжитку також і в Європі. У середині століття, аж до XVI століття, подібні пристосування були широко поширені в Європі. Але тепер видозмінений абак - рахунки - зберігся, здається, тільки у нас, та в Китаї (семікосгочковие рахунки - «Суан-пан» *) і Японії (теж семікосточковие рахунки - «соробан»). Кожен грамотна людина вміє там виконувати на таких рахунках чотири арифметичних дії Між тим Захід майже не знає рахунків, - ви не знайдете їх ні в одному магазині Європи, і лише в початкових школах є величезні рахунки - наочне класне допомога при навчанні нумерації. Бути може, тому-то ми і не цінуємо цього рахункового приладу так високо, як він заслуговує, а дивимося на нього як на наївну кустарну самодельщіну в області лічильних приладів Японці цінують свої рахунки високо. Ось як відгукується про соробане один японський учений «Незважаючи на свою старовину, соробан перевершує всі сучасні лічильні прилади легкістю поводження з ним, простота пристрою і дешевизна» Ми теж вправі були б пишатися нашими конторськими рахунками, так як при дивовижної простоті пристрою вони по досягається на них результатами можуть змагатися в деяких відносинах навіть зі складними, дорого стоять рахунковими машинами.
Сучасні способи запам'ятовування чисел
Найпростіша система числення - двійкова, так як вона використовує тільки дві цифри: нуль і один. Саме таку систему числення використовують сучасні комп'ютери. В основному через те, що такий «мова» легкий для «розуміння» електронних пристроїв: наявність електричного сигналу означає одиницю, його відсутність - нуль. А далі відкриваються воістину безмежні можливості для запам'ятовування самої різної інформації - адже будь-який її вид, будь то текст, зображення, звук або відео, можна представити у вигляді набору чисел. Ввели навіть одиницю інформації: інформація, що говорить про одне з 256 рівноймовірно подій, має об'єм в один байт. Інформацію у вигляді двійкового коду можна розміщувати на різноманітних носіях. Наприклад, на гнучких магнітних стрічках - у вигляді намагнічених і ненамагніченим областей, на поверхні лазерного диска - у вигляді заглиблень (пітів) і виступів, в інтегральних мікросхемах - складним поєднанням напівпровідникових приладів, виконаним на єдиній підкладці з діелектрика. В даний час розібравши калькулятор, не побачите там нічого з електроніки, крім маленької інтегральної мікросхеми, залитої невеликою краплею епоксидної смоли. Це наочно ілюструє той факт, що майбутнє сучасної техніки в її мініатюрності. Такий прилад полагодити не представляється можливим: узор з тисяч плоских транзисторів величиною в частки мікрона неможливо змінити краще фахівця. Так і роблять сучасні мікросхеми, захищаючи їх раз і назавжди міцною оболонкою. Така складність обчислювальної техніки є результатом багатовікового розвитку. Перфокарти (картонні картки в отворами) вперше були застосовані в 1787 р., коли французький ткач Робер Фалькон використовував їх для управління механічним ткацьким верстатом. Пізніше ця система була вдосконалена іншим Ткачем, Жозефом Жаккара. Ряди отворів (перфорація) в наборі карт використовувалися для зберігання деталей узору. При заміні карток ткацький верстат ткав інший візерунок. «Жакардовий верстат виконає будь-який візерунок, який в змозі уявити собі уяву», - говорив англіцскій математик Чарльз Беббідж. Його настільки вразило розмаїття, яке давали перфокарти, що в 1832 р. він почав проектувати те, що назвав «аналітичної машиною», однак, у той час побудувати такий механізм було неможливо через його складність. Але з цього почалася ера електронної інформації. Принцип роботи перфокарт дуже простий: у тому місці, де в карті зроблено отвір, можуть стикатися два електроди, і через них потече струм. Зрозуміло, що струм при відносно малій напрузі не зможе пробити картонну картку - сигналу не буде. Виходить, що перфокарта теж використовувала двійковий код для запису інформації в позиційній системі числення - кожен отвір або його відсутність несуть двояку інформацію - про своє місцезнаходження і про одного з цих двох фактів - є дірка або ж її немає.
Персоналії
Піфаго́р
(580 до н. е. — 500 до н. е.) — давньогрецький філософ, релігійний та політичний діяч, засновник піфагореїзм став легендою і джерелом дискусій уже в стародавні часи. У 306 р. до н.е. йому, як найрозумнішому з греків, поставили пам’ятник в римському форумі. З тих часів мало що прояснилося в біографії Піфагора та в історичній ролі організованого ним союзу, клубу чи ордену піфагорійці. І досі висуваються нові гіпотези, тлумачення щодо діяльності стародавнього мудреця та його послідовників.
Наукові досягнення:
Вчення про число
Основним змістом піфагорійської математики є вчення про число. Як і вавилонські маги, піфагорійці вважали надзвичайно важливими різні властивості чисел і відношення між ними. І коли відсіяти полову — числову містику, виявиться, що вони ввели багато фундаментальних теоретико-числових понять, виявили і дослідили глибокі властивості чисел і поставили такі питання, які й сьогодні залишаються предметом досліджень багатьох учених і все ще чекають свого розв’язання.
Досконалі числа
Найважливішою властивістю чисел піфагорійці вважали парність і непарність і першими ввели поняття парного і непарного числа, простого і складеного, розробили теорію подільності на два, дали кілька класифікацій натуральних чисел. Піфагорійці вважали унікальними такі числа, в яких сума власних дільників, тобто дільників, менших від самого числа, дорівнює самому числу. Наприклад:
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Піфагорові трійки
Pythagorean triple scatterplot2.png
Є 16 примітивних піфагорових трійок з c ≤ 100: ( 3 , 4 , 5 ) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17) ( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) (16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)
100 < c ≤ 300: (20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125) (88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149) (85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181) (57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197) (84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221) (60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257) (23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277) (160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)
Леона́рдо Піза́нський (Фібоначчі)
Леона́рдо Піза́нський (італ. Leonardo Pisano, близько 1170 — близько 1250[1]), відоміший як Фібоначчі (Fibonacci — італійський математик 13 століття, автор математичних трактатів, завдяки яким Європа довідалася про вигадану індійцями позиційну систему числення, відому зараз як арабські цифри. Леонардо розглянув також ідею так званих чисел Фібоначчі і вважається одним з найвидатніших західних математиків Середньовіччя.
Леонардо Пізанський найбільше відомий під прізвиськом Фібоначчі (Fibonacci); про походження цього псевдоніму є різні версії. За однією з них, його батько Гільєрмо мав прізвисько Боначчі («Добромисний»), а сам Леонардо прозивався filius Bonacci («син добромисного»). За іншою, Fibonacci походить від фрази Figlio Buono Nato Ci, що в перекладі з італійської означає «хороший син народився».
Освіта
Життя і наукова кар'єра Леонардо тісно пов'язана з розвитком європейської науки і культури. Дата його народження невідома — називаються варіанти 1170 і 1180 років.
Батько Фібоначчі у торгових справах часто бував у Алжирі, і Леонардо вивчав там математику у арабських учителів. Пізніше відвідав Єгипет, Сирію, Візантію, Сицилію. Леонардо вивчав праці математиків країн ісламу (таких як аль-Хорезмі і Абу Каміл); завдяки арабським перекладам він ознайомився також з досягненнями античних та індійських математиків. На основі засвоєних ним знань Фібоначчі написав ряд математичних трактатів, що представляють собою видатне явище середньовічної західноєвропейської науки.
У часи Фібоначчі імператором Священної Римської імперії був Фрідріх II. Вихований у традиціях південної Італії Фрідріх ІІ був внутрішньо глибоко далекий від європейського християнського лицарства. Тому ціновані його дідом лицарські турніри Фрідріх ІІ зовсім не визнавав. Замість цього він культивував менш криваві математичні змагання, на яких супротивники обмінювалися не ударами, а задачами.
На одному з таких турнірів проявився талант Леонардо Фібоначчі. Цьому сприяла чудова освіта, яку отримав син купця Боначчі на Сході у арабських учителів.
Заступництво Фрідріха сприяло також випуску наукових трактатів Фібоначчі: «Книга абака», «Практика геометрії», «Книга квадратів».
За цими книгами, які перевершували за своїм рівнем арабські і середньовічні європейські твори, вивчали математику ледь не до часів Декарта (XVII століття).
У XIX столітті в Пізі був поставлений пам'ятник вченому.
Наукова діяльність
Значну частину засвоєних ним знань він виклав у своїй видатній "Книзі абака" (Liber abaci, 1202 ; до наших днів зберегся тільки доповнений рукопис 1228 року). Ця книга містить майже всі арифметичні й алгебраїчні відомості того часу, викладені з винятковою повнотою і глибиною. Вона відіграла значну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Саме за цією книгою європейці знайомилися з арабськими цифрами. Перші п'ять розділів книги присвячено арифметиці цілих чисел на основі десяткової системи числення. У VI і VII главі Леонардо викладає дії зі звичайними дробами. У VIII—X книгах викладені прийоми розв'язання задач комерційної арифметики з використанням на пропорцій. У XI главі розглянуті задачі на змішування. У XII главі наводяться задачі на підсумовування рядів — арифметичної і геометричної прогресій, ряду квадратів[3] і, вперше в історії математики, поворотного ряду[4], що у найпростішому випадку приводить до послідовності так званих чисел Фібоначчі. У XIII главі викладається правило двох помилкових положень[5] і ряд інших задач, що зводяться до лінійних рівнянь. У XIV главі Леонардо на числових прикладах роз'яснює способи наближеного добування квадратного і кубічного коренів. Нарешті, в XV главі зібраний ряд завдань на застосування теореми Піфагора і велика кількість прикладів на квадратні рівняння.
«Практика геометрії» (Practica geometriae, 1220) містить різноманітні теореми, пов'язані з вимірювальним методом. Поряд з класичними результатами Фібоначчі наводить свої власні — наприклад, перший доказ того, що три медіани трикутника перетинаються в одній точці (Архімеду цей факт був відомий, але якщо його доведення і існувало, то до нас воно не дійшло).
У трактаті «Квітка» (Flos, 1225) Фібоначчі досліджував задачу, яка в сучасних позначеннях зводиться до знаходження коренів кубічного рівняння
x^3 + 2x^2 + 10x = 20 ,
запропоновану йому Іоанном Палермським на математичному змаганні при дворі імператора Фрідріха II. Сам Іоанн Палермський майже напевно запозичив це рівняння з трактату Омара Хайяма «Про докази задач алгебри», де воно наводиться як приклад одного з видів у класифікації кубічних рівнянь. Леонардо Пізанський досліджував це рівняння, показавши, що його корінь не може бути раціональним або ж мати вигляд однієї з квадратичних ірраціональностей, що зустрічаються в X книзі Начал Евкліда, а потім знайшов наближене значення кореня в шестидесяткових дробах, не вказуючи, проте, способу свого розв'язку.
«Книга квадратів» (Liber quadratorum, 1225), містить ряд задач на знаходження розв'язку невизначених квадратних рівнянь. В одному із завдань, також запропонованому Іоанном Палермським, потрібно було знайти раціональне квадратне число, яке, будучи збільшеним або зменшеним на 5, знову дає раціональні квадратні числа.
Генри Мортон Стэнли
Генри Мортон Стэнли GCB (англ. Henry Morton Stanley), настоящее имя — Джон Роулендс (28 января 1841 — 10 мая 1904) — журналист, знаменитый путешественник, исследователь Африки. Рыцарь Большого Креста ордена Бани. Похоронен в Вестминстерском аббатстве, рядом с Давидом Ливингстоном.
Біографія
Генри Мортон Стэнли — родился в городке Денбиг в Уэльсе. Он был незаконнорожденным ребенком 18-летней дочери бедного фермера Бетси Пэрри и Джона Роулендса, сына богатого фермера, жившего по соседству. Чтобы поступить на работу, матери Генри пришлось отдать сына на воспитание в семью соседнего фермера Прайса, где маленький Джон прожил несколько лет. В детстве ему дали имя Джон Бэч. В дальнейшем он сменил свою фамилию на Роулендс. Когда Бэтси не могла больше выплачивать деньги за воспитание сына, Джона отдали в рабочий дом в Сент-Азафе, где ребенок остался на общественном попечении. Здесь царила тюремная дисциплина. Свободолюбивый Генри не один раз попадал в конфликтные ситуации. В рабочем доме Джон пробыл до пятнадцати лет. В 1856 году его взяла к себе тетка и поручила пасти своих овец. Но Джон уже грезил Америкой, где он мог сделать карьеру, разбогатеть и вырваться из нищеты.
В 17 лет Г. Стэнли поступил юнгой на корабль и попал в Новый Орлеан. В Новом Орлеане юноша нашёл место в одном из торговых предприятий Генри Стэнли, купца с «мягким сердцем и твердым черепом», который отнёсся к нему как к сыну. Почерк Джона понравился купцу, и он принял его в свою лавку. У Стэнли Джон прослужил три года. За это время он так понравился хозяину своей расторопностью, сообразительностью и трудолюбием, что тот произвел его из «мальчиков» в старшие приказчики, а затем и усыновил его, благодаря чему Джон превратился в Генри Мортона Стэнли. В период гражданской войны в США он записался волонтером в армию Южных штатов, что положило конец его мечтам о свободе и достоинстве. Генри М. Стэнли участвовал во всех походах армии генерала Эдварда Джонсона. В сражении под Геттисбергом он попал в плен, но ему удалось бежать.
После плена Стэнли поступил простым матросом на один из кораблей, действовавших тогда против Юга. На морской службе Стэнли пробыл три года, с 1863 по 1866 год. Штатным корреспондентом Генри Стэнли стал в 1867 году при выполнении первого большого задания — серии репортажей об «умиротворении» индейцев в западных прериях — он получил уроки обхождения с «примитивными» народами. Стэнли пришёл к выводу, что «истребление индейцев — это в первую очередь не вина белых, а в основном следствие неукротимой дикости самих красных племен». В своих очерках Стэнли демонстрировал сдержанную симпатию к мужественному врагу, изображал события захватывающе, сентиментально и в то же время поверхностно — как истинный военный журналист. Стэнли в качестве газетного корреспондента объездил Европейскую Турцию и Малую Азию. В 1868 году Генри Мортон Стенли поступил на службу к Джеймсу Гордону Беннету, издателю газеты «Нью-Йорк Геральд», имевшей самый большой в Америке тираж. Корреспондентом этой газеты он впервые попал в Африку — в качестве свидетеля колониальной войны.
Арена действий — Эфиопия, которая в отличие от Египта и Судана все ещё отстаивала свою независимость. А с предстоящим открытием Суэцкого канала страна приобретала особое значение. Великобритания в 1867 году отправила в Эфиопию экспедиционный корпус, который уже через год вырос до 40 000 солдат. Эфиопская авантюра стоила не менее девяти миллионов фунтов и завершилась тем, что эфиопский император покончил жизнь самоубийством в крепости Мэкдэла. Было убито семьсот и ранено тысяча пятьсот эфиопов; с британской стороны было двое убитых и несколько раненых. Об этом победоносном походе и сообщил Стэнли, да так захватывающе, что взбудоражил американских читателей. Он давал такую оперативную информацию, что сообщение о взятии Магдалы появилось в «Геральд», когда британское правительство ещё ничего об этом не знало Ловкий журналист подкупил в Суэце телеграфиста, чтобы тот передал его телеграмму первой. B 1871 году Стэнли отправился по поручению издателя «Нью-Йорк Геральд» разыскивать в Центральной Африке Ливингстона, от которого с 1869 года не было известий.
Лейбниц, Готфрид Вильгельм.
Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц(нем. Gottfried Wilhelm Leibniz или нем. Gottfried Wilhelm von Leibniz, МФА (нем.): [ˈɡɔtfʁiːt ˈvɪlhɛlm fɔn ˈlaɪbnɪts] или [ˈlaɪpnɪts]; 21 июня (1 июля) 1646 — 14 ноября 1716) — немецкий философ, логик, математик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед]. Основатель и первый президент Берлинской Академии наук, иностранный член Французской Академии наук.
Біографія
Ранние годы
Готфрид Вильгельм родился 1 июля 1646 года в семье профессора философии морали (этики) Лейпцигского университета Фридриха Лейбнюца (нем. Friedrich Leibnütz или нем. Friedrich Leibniz) и Катерины Шмукк (нем. Catherina Schmuck), которая была дочерью выдающегося профессора юриспруденции. Отец Лейбница был сербо-лужицкого происхождения. По материнской линии Готфрид Вильгельм Лейбниц, по-видимому, имел чисто немецких предков.
Отец Лейбница очень рано заметил гениальность своего сына и старался развить в нём любознательность, часто рассказывая ему маленькие эпизоды из священной и светской истории; по словам самого Лейбница, эти рассказы глубоко запали ему в душу и были самым сильным впечатлением его раннего детства. Лейбницу не было и семи лет, когда он потерял отца; его отец умер, оставив после себя большую личную библиотеку. Лейбниц рассказывал: Когда я подрос, мне начало доставлять чрезвычайное наслаждение чтение всякого рода исторических рассказов. Немецкие книги, которые мне попадались под руку, я не выпускал из рук, пока не прочитывал их до конца. Латинским языком я занимался сначала только в школе и, без сомнения, я подвигался бы с обычной медленностью, если бы не случай, указавший мне совершенно своеобразный путь. В доме, где я жил, я наткнулся на две книги, оставленные одним студентом. Одна из них была сочинения Ливия, другая — хронологическая сокровищница Кальвизия. Как только эти книги попали мне в руки, я проглотил их.
Кальвизия Лейбниц понял без труда, потому что у него была немецкая книга по всеобщей истории, где говорилось приблизительно то же самое, но при чтении Ливия он постоянно попадал в тупиr. Лейбниц не имел понятия ни о жизни древних, ни об их манере писания; не привыкнув также к возвышенной риторике историографов, стоящей выше обыденного понимания, Лейбниц не понимал ни одной строки, но это издание было старинное, с гравюрами, поэтому он внимательно рассматривал гравюры, читал подписи и, мало заботясь о тёмных для него местах, попросту пропускал всё то, чего не мог понять. Он повторил это несколько раз и перелистывал всю книгу; забегая, таким образом, вперёд, Лейбниц стал немного лучше понимать прежнее; в восторге от своего успеха подобным образом он продвигался дальше, без словаря, пока ему, наконец, не стала вполне ясной большая часть прочитанного.
Учитель Лейбница вскоре заметил, чем занимается его ученик, и, не долго думая, он отправился к лицам, которым мальчик был отдан на воспитание, требуя, чтобы они обратили внимание на «неуместные и преждевременные» занятия Лейбница; по его словам, эти занятия были только помехой учению Готфрида. По его мнению, Ливий годился для Лейбница как котурн для пигмея; он считал, что книги, годные для старшего возраста, надо отобрать у мальчика и дать ему «Orbis pictus» Коменского и «Краткий катехизис» Лютера. Он убедил бы в этом воспитателей Лейбница, если бы случайным образом свидетелем этого разговора не оказался один живший по соседству учёный и много путешествовавший дворянин, друг хозяев дома; поражённый недоброжелательством и глупостью учителя, который мерил всех одной мерой, он стал, напротив, доказывать, как было бы нелепо и неуместно, если бы первые проблески развивающегося гения были подавлены суровостью и грубостью учителя. Наоборот, он считал, что надо всеми средствами благоприятствовать этому мальчику, обещающему нечто необыкновенное; немедленно попросил он послать за Лейбницем, и когда, в ответ на его вопросы, Готфрид ответил толково, он до тех пор не отстал от родственников Лейбница, пока не заставил их дать обещание, что Готфрида допустят в библиотеку его отца, давно находившуюся под замком. Лейбниц писал:
Я торжествовал, как если бы нашёл клад, потому что сгорал от нетерпения увидеть древних, которых знал только по имени, — Цицерона и Квинтилиана, Сенеку и Плиния, Геродота, Ксенофонта и Платона, писателей Августова века и многих латинских и греческих отцов церкви. Всё это я стал читать, смотря по влечению, и наслаждался необычайным разнообразием предметов. Таким образом, не имея ещё двенадцати лет, я свободно понимал латынь и начал понимать по-гречески.
Церковь и Школа Святого Фомы (1723)
Этот рассказ Лейбница подтверждается и сторонними свидетельствами, доказывающими, что его выдающиеся способности были замечены и товарищами, и лучшими из преподавателей; Лейбниц особенно дружил в школе с двумя братьями Иттигами, которые были значительно старше его и считались в числе лучших учеников, а их отец был учителем физики, и Лейбниц любил его больше других учителей. Лейбниц учился в знаменитой Лейпцигской школе Святого Фомы.
Библиотека отца позволила Лейбницу изучить широкий спектр передовых философских и теологических работ, к которым он мог бы иметь доступ только в студенческие годы. К десяти годам Лейбниц изучил книги Цицерона, Плиния, Геродота, Ксенофана и Платона. В возрасте 12 лет Лейбниц был уже знатоком латыни; в возрасте 13 лет у него проявился поэтический талант, которого в нём никто не подозревал. В День Святой Троицы один ученик должен был прочесть праздничную речь по латыни, но он заболел, и никто из учеников не вызвался его заменить; друзья Лейбница знали, что он мастер писать стихи, и обратились к нему. Лейбниц взялся за дело и за один день сочинил триста гекзаметров латинского стиха для этого мероприятия, причём на всякий случай специально постарался избежать хотя бы единого стечения гласных; его стихотворение вызвало одобрения учителей, которые признали Лейбница выдающимся поэтическим талантом].
Лейбниц также увлекался Вергилием; до глубокой старости он помнил наизусть чуть ли не всю «Энеиду»; в старших классах его особенно отличал Якоб Томазий (нем.)русск., однажды сказавший мальчику, что рано или поздно он приобретёт славное имя в научном мире. В четырнадцатилетнем возрасте Лейбниц также стал вдумываться в истинную задачу логики как классификации элементов человеческого мышления; он рассказывал об этом следующее:
Я не только умел с необычайною легкостью применять правила к примерам, чем чрезвычайно изумлял учителей, так как никто из моих сверстников не мог сделать того же; но я уже тогда во многом усомнился и носился с новыми мыслями, которые записывал, чтобы не забыть. То, что я записал ещё в четырнадцатилетнем возрасте, я перечитывал значительно позднее, и это чтение всегда доставляло мне живейшее чувство удовольствия.
Лейбниц видел, что логика подразделяет простые понятия на известные разряды, так называемые предикаменты (на языке схоластики предикамент означал то же самое, что и категория), и его удивляло, почему таким же образом не подразделяют сложные понятия или даже суждения так, чтобы один член вытекал или выводился из другого. Готфрид придумал собственные разряды, которые он тоже называл предикаментами суждений, образующими содержание или материал умозаключений, подобно тому, как обыкновенные предикаменты образуют материал суждений; когда он высказал эту мысль своим учителям, они не ответили ему ничего положительного, а лишь сказали, что «мальчику не годится вводить новшества в предметы, которыми он ещё недостаточно занимался».
В школьные годы Лейбниц успел прочесть всё более или менее выдающееся, что было в то время в области схоластической логики; интересуясь богословскими трактатами, он прочёл сочинение Лютера, посвящённое критике свободы воли, а также многие полемические трактаты лютеран, реформатов, иезуитов, арминиан, томистов и янсенистов. Эти новые занятия Готфрида встревожили его воспитателей, которые боялись, что он станет «хитроумным схоластиком». «Они не знали, — писал Лейбниц в своей автобиографии, — что мой дух не мог быть наполнен односторонним содержанием».
Наукова діяльність
В 1666 году Готфрид Вильгельм Лейбниц написал одно из своих многочисленных сочинений — «Об искусстве комбинаторики» («De arte kombinatoria»). Опередив время на два века, 21-летний Лейбниц задумал проект математизации логики. Будущую теорию (которую он так и не завершил) он называет «всеобщая характеристика». Она включала все логические операции, свойства которых он ясно представлял. Идеалом для Лейбница было создание такого языка науки, который позволил бы заменить содержательные рассуждения исчислением на основе арифметики и алгебры: «... с помощью таких средств можно достичь... удивительного искусства в открытиях и найти анализ, который в других областях даст нечто подобное тому, что алгебра дала в области чисел». Лейбниц многократно возвращался к задаче «математизации» формальной логики, пробуя применять при этом арифметику, геометрию и комбинаторику — область математики, основным создателем которой являлся он сам; материалом для этого ему служила традиционная силлогистика, достигшая к тому времени высокой степени совершенства.
Лейбниц изобрёл собственную конструкцию арифмометра, гораздо лучше паскалевской, — он умел выполнять умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, а также возведение в степень. Предложенные Готфридом ступенчатый валик и подвижная каретка легли в основу всех последующих арифмометров вплоть до XX столетия. «Посредством машины Лейбница любой мальчик может производить труднейшие вычисления», — сказал об этом изобретении Готфрида один из французских учёных.
В 1673 году Лейбниц в Лондоне на заседании Королевского общества демонстрирует свой арифмометр и избирается членом Общества. От секретаря Общества Ольденбурга он получает изложение ньютоновских открытий: анализа бесконечно малых и теории бесконечных рядов. Сразу оценив мощь метода, он сам начинает его развивать. В частности, он вывел первый ряд для числа \pi:
В 1675 году Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке, и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.
По мере развития анализа выяснилось, что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично подходит для обозначения многократного дифференцирования, частных производных и т. д. На пользу школе Лейбница шла и его открытость, массовая популяризация новых идей, что Ньютон делал крайне неохотно.
В 1676 году вскоре после смерти курфюрста Майнцского Лейбниц переходит на службу к герцогу Эрнесту-Августу Брауншвейг-Люнебургскому (Ганновер). Он одновременно советник, историк, библиотекарь и дипломат; этот пост он не оставил до конца жизни. По поручению герцога Лейбниц составляет историю рода Гвельфов-Брауншвейгов. Он работал над ней более тридцати лет и успел довести её до «тёмных веков».
Лейбниц продолжает математические исследования, открывает «основную теорему анализа», обменивается с Ньютоном несколькими любезными письмами, в которых просил разъяснить неясные места в теории рядов. Уже в 1676 году Лейбниц в письмах излагает основы математического анализа. Объём его переписки колоссален. Переписка Лейбница достигала поистине астрономического числа — примерно 15 000 писем.
В 1682 году Лейбниц основал научный журнал «Acta Eruditorum», сыгравший значительную роль в распространении научных знаний в Европе. Готфрид Вильгельм поместил в этом журнале множество статей по всем отраслям знаний, преимущественно по юриспруденции, философии и математике. Кроме того, он печатал в нём извлечения из разных редких книг, а также рефераты и рецензии на новые научные сочинения и всячески содействовал привлечению новых сотрудников и подписчиков. Впервые «Acta Eruditorum» был опубликован в Лейпциге. Лейбниц привлекает к исследованиям своих учеников — братьев Бернулли, Якоба и Иоганна.
В 1698 году умер герцог Брауншвейгский. Его наследником стал Георг-Людвиг, будущий король Великобритании. Он оставляет Лейбница на службе, но относится к нему пренебрежительно.
В 1700 году Лейбниц, действуя главным образом через королеву Софию Шарлотту, основывает Берлинскую Академию наук и становится её первым президентом. Избирается иностранным членом Французской Академии наук.
Посилання
<< Розвиток систем числення /*http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%96%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80*/
Леона́рдо Піза́нський (Фібоначчі) /*http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%96%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D1%96*/
