Економічна і математична постановка задачі дробово–лінійного програмування. Геометрична інтерпретація

Постановка задачі та алгоритм розв’язування

Розв’язуючи економічні задачі, часто за критерій оптимальності беруть показники рентабельності, продуктивності праці тощо, які математично подаються дробово-лінійними функціями. Загальну економіко-математичну модель у цьому разі записують так:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Z = \frac {\sum_{j=1}^n {c_j x_j+ c_0}}{\sum_{j=1}^n {d_j x_j+ d_0}}\to max(min) за умов:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n {a_{ij} x_j = b_i(i=\overline{1,n})}, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j}\ge 0(j=\overline{1,n})

Припускають, що знаменник цільової функції в області допустимих розв’язків системи обмежень не дорівнює нулю. Алгоритм розв’язування задачі дробово-лінійного програмування передбачає зведення її до задачі лінійного програмування. Щоб виконати таке зведення, позначимо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n d_i x_j + d_0=\frac{1}{y_0} ,

зробимо заміну змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_j = y_0 x_j (j=\overline{1,n}) ,

 і запишемо економіко-математичну модель:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): max(min) Z=\sum_{j=1}^n c_j y_j + x_0 y_0

за умов:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n a_{ij} y_j - b_i y_0 = 0 , (i=\overline{1,n}) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n d_j y_j - d_0 y_0 = 1 , y_{j}\ge 0 (j=\overline{1,n}) , y_{0}> 0

Дістали задачу лінійного програмування, яку можна розв’язати симплексним методом. Нехай оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{0j} = y_{01} , y_{02},.., y_{0n}, y_0

Оптимальні значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j

знайдемо за формулою: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{0j} = {y_{0j} \over y_0} (j=\overline{1,n})

---

Приклад

Сільськогосподарське акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю, яке розміщене в Лісостепу України, має намір оптимізувати структуру виробництва. За критерій оптимальності взято максимізацію рентабельності як відношення прибутку до собівартості. Дані про види діяльності, що їх здійснюватиме товариство, наведено в таблиці: