Третя теорема двоїстості. Економічне тлумачення.

Третя теорема двоїстості

Теорема (третя теорема двоїстості).

Компоненти оптимального плану двоїстої задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{i}^{*}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=\overline{1,n}
дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(b_{1},b_{2}...,b_{m}~)
за відповідними аргументами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}~
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=\overline{1,n}~

або
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dF/db_i=y_{i}^{*}~

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,2,...,m)~~~~~~~~(1)
 

Доведення.

Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): max F=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}~~~~~~~~(2)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ ................................ \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{mn}x_{n}=b_{m} \\ \end{array}} \right.~~~~~~~~(3)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j\ge 0~

,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j=\overline{1,n}~~~~~~~~(4)
    

Двоїсту задачу до задачі (2)-(4) сформулюємо так: знайти оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_{1}^{*},y_{2}^{*},...,y_{m}^{*})~

,за якого мінімізується значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  Z=b_{1}y_{1}+b_{2}y_2{}+...+b_{m}y_{m}~~~~~~~~~~~(5)
  

за умов:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}+a_{1n}y_{n} \ge c_{1} \\ a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}+a_{2n}y_{n} \ge c_{2} \\ ................................ \\ a_{m1}y_{1}+a_{m2}y_{2}+a_{mn}y_{n} \ge c_{m} \\ \end{array}} \right.~~~~~~~~~~(6)

причому умова невід’ємності змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_i^*

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline{1,n})~
відсутня. 

Позначимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_{1}^{*},y_{2}^{*},...,y_{m}^{*})~

— оптимальний план двоїстої задачі,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^*=(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{m}^{*})~
 — оптимальний план задачі (2)-(4). За першою теоремою двоїстості відомо, що:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): max\ F=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}=min\ Z=b_{1}y_{1}^{*}+b_{2}y_{2}^{*}+...+b_{m}y_{m}^{*}~

або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F=b_{1}y_{1}^{*}+b_{2}y_{2}^{*}+...+b_{m}y_{m}^{*}~~~~~~~~(7)

Оскільки досліджується питання впливу зміни значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}~ ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline{1,n})~

на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F~
, то лінійну функцію (7) можна розглядати як функцію від аргументів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}~

,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline{1,n})~ .Тоді частинні похідні за змінними Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}~ ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline{1,n})~

будуть дорівнювати компонентам оптимального плану двоїстої задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{i}^{*}~
:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dF/db_{i}=y_{i}^{*}~
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,2,...,m~~~~~~~~~(8)

Однак дане твердження справедливе лише у тому разі, коли компоненти оптимального плану Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)~

залишаються постійними, а оскільки за першою теоремою двоїстості Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=C^*D^{-1}~

, то значення двоїстих оцінок будуть незмінними лише за умови постійної структури оптимального плану початкової задачі.

Отже, рівності (8) справджуються лише за незначних змін Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i~ ,інакше суттєва зміна умов початкової задачі (правих частин системи обмежень (3) та цільової функції (5) приведе до зміни базису в оптимальному плані прямої задачі, а значить, і до іншого розв’язку двоїстої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^{~}\ne Y^*~ .

Економічний зміст третьої теореми двоїстості.

Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає змогу зіставляти непорівнянні речі. Очевидно, що неможливим є просте зіставлення величин, які мають різні одиниці вимірювання. Якщо взяти як приклад виробничу задачу, то цікавим є питання: як змінюватиметься значення цільової функції (може вимірюватися в грошових одиницях) за зміни обсягів різних ресурсів (можуть вимірюватися в тоннах, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M^2

, люд./год, га тощо).Використовуючи третю теорему двоїстості, можна легко визначити вплив на зміну значення цільової функції збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова функція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{i}^{*}=F /\bigtriangleup{b_{i}}~

.Отже, за умови незначних змін Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}~

замість задачі (2)—(4) маємо нову задачу, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}~
замінено на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{i}^{'}=b_{i}+\bigtriangleup{b_{i}}~

.Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^{'}~

оптимальний план нової задачі.Для визначення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X^{'})~
не потрібно розв’язувати нову задачу лінійного програмування, а достатньо скористатися формулою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X^{'})-F(X^{*})=y_{i}^{*}b_{i}~

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^*~

— оптимальний план задачі (2)—(4).

Література

Математичне програмування -Третя теорема двоїстості.Економічний зміст третьої теореми двоїстості.- Наконечний С.І.