Третя теорема двоїстості. Економічне тлумачення.

Теорема (третя теорема двоїстості).
Компоненти оптимального плану двоїстої задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_i^*

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n)
дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(b_1,b_2...,b_m)
за відповідними аргументами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i

,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n)

або 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dF/db_i=y_i^*

,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,2,...,m
                (3.28) 

Доведення. Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n

                         (3.29) 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_j\ge 0

,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j=1,n
                          (3.31) 

Двоїсту задачу до задачі (3.29)-(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)

,за якого мінімізується значення 
 Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Z=b_1y_1+b_2y_2+...+b_my_m
   (3.32) за умов:причому умова невід’ємності змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_i^*

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n)

відсутня. 

Позначимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^*=(y_1^*,y_2^*,...,y_m^*)

— оптимальний план двоїстої задачі,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^*=(x_1^*,x_2^*,...,x_m^*)
 — оптимальний план задачі (3.29)—(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=minZ=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*

або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F=b_1y_1^*+b_2y_2^*+...+b_my_m^*

      (3.34) 

Оскільки досліджується питання впливу зміни значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n)

на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F
, то лінійну функцію (3.34) можна розглядати як функцію від аргументів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i

,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n) .Тоді частинні похідні за змінними Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=1,n)

будуть дорівнювати компонентам оптимального плану двоїстої задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_i^*
:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dF/db_i=y_i^*
,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,2,...,m
(3.35)