ДЕЩО З ІСТОРІЇ
Арифметикой люди занимались с древнейших времен, когда еще и в помине не было никаких репетиторов по математике, никаких ЕГЭ, ГИА, ВУЗов и даже олимпиад. Возника она из естественных потребностей людей учитывать, сравнивать и рассчитывать. Греческие математики называли ее наукой о свойствах чисел, сначала натуральных, затем дробных и целых. Само название произошло от греческого arithmos — число.
Уже очень давно люди заметили разницу между и нечетным и четным числом, обнаружили возможность менять порядок действий в числовом выражении и поэтому начали интересоваться различными свойствами натуральных чисел. Такой интерес возник почти сразу же после появления самих чисел, а именно несколько тысяч лет тому назад у ученых древнего Вавилона. От них интерес к этим свойствам со временем перешел к математикам древней Греции. Они изучали вопросы делимости натуральных чисел. Были открыты числа, которые равны сумме всех своих делителей (меньших самого числа) и названы совершенными. Например таким чимслом являются, например, число 28. Его делители это 1,2,4,7 и14. если их сложить, то получится 28 (проверьте!). Понятие общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного, простых и составных чисел, восходит к древнегреческой математике. О них писал живший в Египетском городе Александрии математик Евклид в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысячелетий основным учебником математики. Евклид знал, что простых чисел бесконечно много и что каждое составное число можно разложить единственым способом на простые сомножители.
Для отыскания простых чисел греческий ученый Эратосфен, живший в III в. до нашей эры, придумал такой способ. Он записывал все числа от 2 до какого-нибудь числа, а потом вычеркивал через одно все числа, делящиеся на два (то есть числа 4,6,8,10,12). Первым оставшимся после 2 числом было 3. Далее вычеркивались через два на третье все чисал, идущие после 3 (то есть делящиеся на 3). В конце этого вычеркивания оставались невычеркнутыми только те числа, которые ни на что не делятся, кроме единицы и самого себя (то есть простые числа). На рисунке изображен процесс Эратосфена для чисел от 2 до 40.
Так как греки писали на покрытых воском табличках, а числа не вычеркивали, выкалывали иглой, то табличка в конце вычислений напоминала решето. Именно поэтому этот метод Эратосфена был назван решетом Эратосфена. В этом решете отсеиваются простые числа от составных. На рисунке видно, что простыми числами от 2 до 40 являются числа .
Древних греков интересовали числа, которые выражали количество точек, расположенных в виде некоторой геометрической фигуры — треугольника, квадрата и т.д. Например, числа они называли треугольными. Их изображали точками в виде треугольника, как на рисунке
Число, которые можно было получить возведя некоторое другое число в квадрат, они называли квадратным. Например, такими являются числа . Их изображали точками в виде квадрата, как изображено на рисунке.
Изображения таких чисел в виде геометрических фигур позволяло греческим ученым обнаруживать интересные свойства таких чисел. Например, складывая нечетные числа по порядку от 1 до какого-нибудь нечетного числа, мы получим сумму, которая будет некоторым полным квадратом (то есть квадратным числом).
Проверим это: , и так далее. Репетитор по математике может доказать это свойство ученику для любого количества слагаемых методом математической индукции. Поскольку дети, интересующиеся математикой, как правило, имеют достаочно неплохой уровень математической подготовки и готовы переварить доказательство свойства уже даже в 8-9 классе, репетитор может совместить историческое занятие с классическим уроком на последовательности чисел.
В связи с изучением звуковых сочетаний (говоря современным языков — изучением теории музыки) греческие математики еще в те времена рассматривали различные средние величины. Говоря соверменным математическим языком — средние члены пропорции и среднее арифметическое. Они знали не только свойства полусуммы двух чисел (среднего арифметического), но и свойства среднего геометрического и среднего гармонического. Средним геометрическим чисел a и b они называли такое число с, при котором или в современной записи . Например, если , то , так как .
Средним гармоническим чисел a и b греки называли частное от деления произведения этих чисел на их среднее арифметическое . Сначала они находили среднее арифметическое, а уже потом делили его на среднее гармоническое. В преобразованном виде получение того же результата вошло в правило несколько позже.
