Моделювання випадкових подій та дискретних величин
Моделювання випадкових подій та дискретних величин
Незалежні випадкові події
Імовірність настання деякої елементарної випадкової події А в даному випробуванні дорівнює P(A)=p.
Якщо ri – значення рівномірно розподіленої величини на інтервалі [0,1], то можна стверджувати, що за умови ri ≤ p настане подія А, а якщо ri > p, то відбудеться подія Ā.
Ця модель добре описує такі події, як обслуговування вимоги в пристрої СМО, що може бути вільним або зайнятим, успішну або ні спробу виконання деякого завдання розгалуження потоків інформації у двох і більше напрямках. У деяких мовах для моделювання випадкової події використовується спеціальний блок (наприклад, у мові GPSS – блок TRANSFER, який працює в статичному режимі)
Група несумісних подій
Нехай є група несумісних подій A1, A2, …, Ak, настання яких необхідно дослідити. p1 = P(A1), p2 = P(A2), p3 = P(A3), …, pk = P(Ak). Припустимо, що p0 = 0. На відрізку [0, 1] числової осі відкладемо значення цих імовірностей.
Ця модель часто використовується в теорії прийняття рішень і добре відтворює процеси вибору однієї з багатьох альтернатив у комп’ютерних іграх, розгалуження потоків інформації у вузлах мережі в кількох напрямках, вибір одного з багатьох пристроїв для обслуговування в СМО.
Умовна подія
Умовна подія А – це подія, яка відбувається з імовірністю Р(А/В) тільки за умови, що настала подія В. У цьому разі має бути задана ймовірність Р(В) настання події В. Моделювання настання умовної події А провадиться таким чином. Спочатку випадкове число ri, отримане від генератора випадкових чисел, використовується для моделювання настання події В. Подія В настає в тому випадку, якщо справджується нерівність r1 ≤ Р(В). Настання події А моделюється за допомогою числа r2. Для цього перевіряється умова r2 ≤ Р(А), за виконання якої приймається рішення, що подія А відбулася. Якщо ж подія В не відбулася, то настання події А моделювати не потрібно. Таким чином, можна скоротити загальну кількість випробувань.
Випадкова дискретна величина
Одне з основних понять теорії ймовірностей – дискретна випадкова величина Х, яка набуває конкретних значень xi з імовірністю pi. Ці випадкові величина називають цілочисловими. Якщо можливі значення випадкової величини становлять скінченну послідовність, то розподіл імовірностей випадкової величини визначають, задаючи значення x1, x2, …, xn і відповідних їм імовірностей p1, p2, …, pn. Моделювання випадкової дискретної величини виконується аналогічно моделюванню групи несумісних подій, тобто випадкову величину Х подають як повну групу подій: A1=(X=x1 ),A2=(X=x2 ), …,An=(X=xn ).
Для моделювання дискретної випадкової величини Х зручно використовувати дискретну кумулятивну функцію. Для цього аналізують можливі значення випадкової величини Х і будують гістограму розподілу можливих значень.
Геометричний розподіл
Для моделювання випадкової величини Х з геометричним розподілом необхідно задати таблицю її значень та їх ймовірність.
Прикладом випадкової величини з таким розподілом може бути загальна кількість випробувань, які потрібно провести до першого успішного випробування, наприклад кількість пострілів, які потрібно виконати до першого влучення в ціль.
Загалом ймовірність того, що випадкова величина приймає значення k, визначається за формулою pk=p(1- p)k, k=0, 1, …, n. Для отримання значення випадкової величини з геометричним розподілом використовують таку формулу:
Біноміальний розподіл
Біноміальний розподіл, або розподіл Бернуллі, - це розподіл дискретної випадкової величини, яка приймає два і тільки два значення: 1 – «true», або «істина», та 0 - «false», або «хибність». Цей розподіл показує ймовірність настання деякої події за n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія настає з імовірністю p, тобто ймовірність s успішних наслідків у n випробуваннях.
Залежно від значення n можна вибрати один із способів моделювання випадкової величини з біноміальним розподілом. За невеликих n значення випадкової біноміально розподіленої величини визначається як кількість чисел у послідовності {ri} з n чисел, які не перевищують значення p. За великих значень n і малих p необхідно генерувати рівномірно розподілені випадкові числа ri.
Розподіл Пуассона
Випадкову величину з розподілом Пуассона можна отримати, якщо припустити, що кількість незалежних випробувань n у біноміальному розподілі прямує до нескінченості, а ймовірність успішного випробування p – до нуля, причому добуток np є незмінним і дорівнює λ.
Таким чином, розподіл Пуассона є граничним випадком біноміального та описує випадкові події, які мають місце дуже рідко (наприклад, кількість дефектів у готовому виробі та кількість аварій на транспорті за деякий тривалий проміжок часу).
