Автомодельність
де х - координата, t - час, то умова інваріантності щодо зміни масштабів ,
і перетворення подібності таке:
Де - Числа. Вибір. де m - критерій подібності (параметр), надає первісної функції автомодельний вид
Т. о., функція u при постійному m залежить тільки від комбінації
Автомодельность можлива, якщо набір параметрів, що визначають стан системи, не містить характерних масштабів незалежних змінних. Оскільки в більшості завдань форма перетворення подібності заздалегідь невідома, автомодельний підстановку треба в кожному випадку знаходити окремо. Для цього є 3 способи:
1. Аналіз розмірностей. Стан системи характеризується набором розмірних параметрів і функцій, що залежать від координат х, у, z і часу t. Якщо один з безрозмірних критеріїв подібності має вигляд m = Х0/b , де b - параметр, що має розмірність [b] = , X0, Т0 - характерні довжина і проміжок часу, L, Т - одиниці довжини і часу відповідно, то в якості автомодельних змінних можна вибрати безрозмірні комбінації x/b , y/b , z/b . У тому випадку, коли є не більше двох визначальних параметрів з незалежними розмірностями, відмінними від довжини і часу, перехід до автомодельний змінним перетворює рівняння з приватними похідними в звичайне диференціальне рівняння.
2. Безпосередній підбір. Формально вводиться автомодельний заміна змінних u=rf(x/ ) або, в більш загальному вигляді, u= , . Рівняння, початкові та граничні умови повинні мати структуру, яка допускає таку заміну. Рішення існує не для будь-яких значень , і не для будь-яких функцій i . Для отримання відповідних значень необхідно вирішити нелінійну задачу на власні значення.
3. Дослідження групових властивостей рівнянь. Розглянемо систему диференціальних рівнянь з частинними похідними 1-го порядку fj (хi, uk, pik) = 0, де хi - незалежні змінні, uk - шукані функції, рik = . Всілякі заміни змінних хi, uk, допущені системою, утворюють групу Лі. Автомодельний заміни, є її однопараметричної підгрупою розтягнень. У деяких випадках знайти такі заміни дозволяє наступна процедура. У просторі змінних хi, uk група Лі задається своїми генераторами, що мають загальний вигляд Х = , де - деякі функції змінних х, і, по повторюваним індексам проводиться підсумовування. У просторі змінних хi, uk, pik група Лі задається генераторами , де
. Система рівнянь fj = 0 визначає гіперповерхню в просторі змінних хi, uk, pik, яка є інваріантом групи за умови Хfj = 0, коли fj = 0; ці умови служать для визначення функцій i . Комбінації змінних, що дають потрібну заміну, є першими інтегралами рівняння. Наприклад, для двох незалежних змінних х, t і однієї шуканої функції u оператор розтягувань має вигляд
X = - Числа. Набір перших інтегралів рівняння такий: : тому автомодельного рішення рівнянь, що допускають групу розтягувань, буде мати вигляд - нова шукана функція. Розглянемо, наприклад, рівняння Кортевега-де Фріса , де - постоянный параметр; оно инвариантно относительно преобразования . Генератор - Оператор розтягувань, і автомодельного рішення має вигляд Підставляючи це рішення у вихідне рівняння, отримуємо звичайне диференціальне рівняння для функції : . Однопараметричну група розтягувань абелева. Якщо система передбачає рішення, побудовані на інших однопараметричних абелевих підгрупах, то відповідною заміною цим рішенням можна надати автомодельний вигляд, що є наслідком подібності цих груп. Зокрема, автомодельний руху тісно пов'язані з нелінійними біжать хвилями, тобто рішеннями виду , яких місце перетворення подібності займає перетворення зсуву. Заміна переводит волновое решение f в автомодельное:
Автомодельность, що відображає внутрішню симетрію, притаманна багатьом явищам і використовується при вирішенні різних фізичних задач, особливо в механіці суцільних середовищ.
Метод ренормализационной групи в квантовій теорії поля, по суті, також заснований на використанні автомодельного перетворення змінних. Цікаво, що в автомодельних змінних рівняння ренормгрушги виявляється тотожним одновимірного рівняння переносу випромінювання. У фізиці елементарних частинок автомодельності виражається в тому, що перетини деяких процесів при високих енергіях залежать лише від безрозмірних автомодельних комбінацій імпульсів. Загальні принципи квантової теорії поля допускають широкий клас таких автомодельних асимптотик.
