Задача СП: P-модель з імов. обмеж. з нормально розподіленими коефіц. цільвої функції, випадк. матрицею коефіц. обмежень. Детер. еквів. Приклад

Стохастичні задачі, в яких оптимізують ймовірність перевищення лінійної форми деякого порогу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{cx \geq c^0 x^0\}

називають Р-моделями. В цю групу також включають задачі, де потрібно мінімізувати поріг k, який не перевищує лінійної форми cx з заданою ймовірністю α: 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha

Еквівалентна детермінована задача дещо ускладняється, якщо замінити показник якості розв’язку стохастичної задачі і замість максимізації Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(cx)

використати мінімізацію границі при умові, що  

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\{\sum_{j=0}^n\ c_j x_j \leq k\}=\alpha_0

Будемо вважати при цьому, що випадкові коефіцієнти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_j

 розподілені нормально з математичним сподіванням Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_j
і кореляційною матрицею Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c=\parallel c_ij\parallel

, де
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_{ij}=M(c_i - \bar{c_j})(c_j - \bar{c_j})

При прийнятих припущеннях про розподілення коефіцієнтів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_j

лінійна форма Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx
є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j
і дисперсією Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx \in N \{\sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j \sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j \}

Тому співвідношення (1) може бути переписане в іншому вигляді.

Звідси видно, що мінімізація k при умові (1) еквівалентна мінімізації
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k= \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j + F^{-1} (a_0) \sqrt{\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j}

При Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0=0,5K

є випуклою вниз функцією Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

.

Таким чином, при зроблених припущеннях задачі СП
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha_0

Відповідає детермінований еквівалент
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k= \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j + F^{-1} (a_0) \sqrt{\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j} \to min (2)

Задача (2) є задачею випуклого програмування. Для її розв’язку може бути використаний метод січних площин або один з варіантів методу можливих напрямків.
Необхідно звернути увагу, що при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0<5 F^{-1} (a_0 )<0 , і цільова функція k (2) являє собою опуклу вгору функцію компонент вектора x. В цьому випадку задача (2) є багато екстремальною. Однак задача максимізації k при умові (2) знову виявляється задачею опуклого програмування. Розглянемо приклад. Потрібно обчислити детермінований вектор x, для вирішення наступної стохастичної задачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k \to max,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x_j x_1 + c_2 x_2 \leq k)=0,37,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(3x_1 + 2x_2 \leq b_1) \geq 0,9,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(-x_1 + 4x_2 \leq b_2) \geq 0,9,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_1, x_2 \geq 0.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_1, c_2

 і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  b_1, b_2 
– дві нормально розподілені незалежні між собою пари випадкових величин з математичними очікуваннями
 Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \bar{c} = (-1,2) 
 і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \bar{b} = (3,3) 

з кореляційними матрицями

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \parallel c_ij\parallel = \parallel (10 20 7 7)\parallel

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \parallel b_ij\parallel = \parallel (1 0 0 1)\parallel

Детермінований еквівалент цієї задачі буде мати такий вигляд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k=-x_1+2x_2-0,33 \sqrt{10x_1^2+14x_1 x_2+20x_2^2 }\to max,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 3x_1-2x_2\leq2,72,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): -x_1+4x_2\leq2,72,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_1,x_2\geq0.

Оптимальни значеннями отриманої задачі опуклого програмування є
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^*=(0;0,68); k^*=0,346.

Виконала: Сандирєва Марина
Доповнював: Ізовіта Олесь