Інтеграл Фур'є

Жан Батист Жозеф Фурье (Jean Baptiste Joseph Fourier}; 21 марта 1768, Осер, Франция — 16 мая 1830, Париж), французский математик и физик.

Научные достижения

• Монографии «Аналитическая теория тепла», в которой был дан вывод уравнения теплопроводности в твёрдом теле, и разработка методов его интегрирования при различных граничных условиях. Метод Фурье состоял в представлении функций в виде тригонометрических рядов Фурье.
• Нашёл формулу представления функции с помощью интеграла, играющую важную роль в современной математике.

Інтеграл Фур'є

Розглянем [-l,l] Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]

де коефіцієнти Фур’є Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n

та  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n
 обчислюються за такими формулами:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos(\frac{nx\pi}{l})dx

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n= \frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\sin(\frac{nx\pi}{l})dx

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(\frac{nx\pi}{l}) + b_n \sin(\frac{nx\pi}{l}) \big]=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(t)\cos(\frac{nt\pi}{l})dt\cos(\frac{nx\pi}{l})+

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): +\frac1{l} \int\limits_{-l}^{l} f(t)\sin(\frac{nt\pi}{l})dt\sin(\frac{nx\pi}{l})=\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(t)[\cos(\frac{nt\pi}{l})\cos(\frac{nx\pi}{l})+sin(\frac{nt\pi}{l})\sin(\frac{nx\pi}{l})]dt=

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\frac1{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)dx+\frac1{l} \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi}{l}({t-x})dt

Зробимо граничний перехід

Отже,для неперервної на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\infty;\infty]

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=(\frac{1}{\pi})\int_0^\infty {d}\alpha\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos\alpha({t-x})dt

- Інтеграл Фур'є .