Інтегральні синус, косинус, логарифм та показникова функція

Інтегральний синус

Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]

Інтегральний синус — функція, визначена формулою:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin\, t}{t} dt

Визначається також функція: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{si}(x) = - \int\limits_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt =\operatorname{Si}(x) -\frac{\pi}{2}

Часткові значення: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Si}(0) = 0,\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \mbox{Si}(x) = \frac{\pi}{2},\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \mbox{si}(x) = 0 .

Властивості

• Інтегральний синус — непарна функція:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Si}(-x) = -\,\operatorname{Si}(x)

• Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{si}(x) + \operatorname{si}(-x) = - \pi

• Інтегральний синус повязаний з інтегральною показниковою функцією співвідношенням:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{si}(x) = \frac{1}{2i} \left( \operatorname{Ei}(ix) - \operatorname{Ei}(-ix) \right)

• Для малих x Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Si}(x) \approx x

• З деякими іншими функціями інтегральний синус пов'язаний співвідношеннями:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_0^\infty e^{pt}\operatorname{si}(qt) dt = - \frac{1}{p} \arctan \frac{p}{q}, \quad \int_0^\infty \operatorname{si}^2(t) dt = \frac{\pi}{2},

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_0^\infty \sin(t) \operatorname{si}(t) dt = - \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^\infty \operatorname{Ci}(t) \operatorname{si}(t) dt = - \ln 2.

• Інтегральний синус задовольняє лінійне диференційне рівняння третього порядку

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): xf'''(x)\!+\!2f''(x)\!+\!xf'(x) = 0.

Розклад у ряд

Інтегральний синус можна розкласти в ряд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Si}(x) = \sum\limits_{n =0}^\infty \frac{ (-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}

За допомогою даного ряду визначається також інтегральний синус від комплексного аргументу.

Асимптотичний розклад для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{\rm Re} (x) \gg 1~

задається розбіжним рядом:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2} - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)

Файл:Sine cosine integral.svg

Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]

Інтегральний косинус

Інтегральний косинус — функція, визначена для додатних дійсних чисел формулою:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos\, t -1 }{t} dt = -\int\limits_x^\infty\frac{\cos t}{t}dt

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma  — стала Ейлера.

Також визначаються пов'язані функції:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,

Властивості

• Інтегральний косинус пов'язаний з інтегральною показниковою функцією співвідношенням:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Ci}(x) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{Ei}(ix) + \operatorname{Ei}(-ix) \right)

• Для малих x Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{Ci}(x) \approx \gamma + \ln x

• З деякими іншими функціями інтегральний косинус пов'язаний співвідношеннями:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \quad \int_0^\infty \operatorname{si}^2(t) dt = \frac{\pi}{2},

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_0^\infty \sin(t) \operatorname{si}(t) dt = - \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^\infty \operatorname{Ci}(t) \operatorname{si}(t) dt = - \ln 2.

Розклад у ряд

Інтегральний косинус можна розкласти в ряд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum\limits_{n =1}^\infty \frac{ (-1)^n x^{2n}}{2n(2n)!}

За допомогою даного ряду визначається також інтегральний косинус від комплексного аргументу. Як функція комплексної змінної інтегральний косинус аналітичний на комплексній площині з розрізом вздовж від'ємної дійсної півосі.

Асимптотичний розклад для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{\rm Re} (x) \gg 1~

задається розбіжним рядом

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)

Інтегральна показникова функція

Інтегральна показникова функція — функція, визначена інтегралом:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,dt.\,

,

де x>0 і береться власне значення інтегралу.

Інтегральна показникова фунція загального виду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n} dt

,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n = 0, 1, 2, \ldots , x > 0.

Інтегральний логарифм

Інтегральний логарифм — Спеціальна функція, визначена інтегралом

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{li}\,(x)=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}.

Для зняття сингулярності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x=1

іноді застосовується здвинутий інтегральний логарифм:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}.

Це дві функції пов"язані співвідношенням :

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{Li}\,(x)-\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots

Інтегральний логарифм введений Леонардом Ейлером в 1768 році.

Інтегральний логарифм і інтегральна показникова функція пов"язані співвідношенням:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x).

Інтегральний логарифм має єдиний додатній нуль в точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots

(число Рамануджана — Солднера).

Розклад у ряд

Із Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{li}\,(x)

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{Ei}(\ln x)
випливає  ряд:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!},

где Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots

— стала Ейлера — Маскероні.

Швидше збігається ряд, виведений Срінивасой Рамануджаном:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}.