Інтеграл Фур'є як розвинення функції по гармоніках з неперервним спектром
Використання
Облишивши математикам доказ того, що при послідовному застосуванні прямого і оберненого перетворення Фур'є, початкова функція залишається незмінною, зосередимося на використанні перетворень Фур'є.
Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектру неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.
Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)
має вигляд
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(t) = \int_0^\infty \alpha(\tau) f(t -\tau) d\tau
,
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha(\tau)
- певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і, яке, змінило стан системи.
Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G(\omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{- i\omega t} \int_0^\infty \alpha(\tau) f(t -\tau) d\tau dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{- i\omega t} \int_0^\infty \alpha(\tau) \int_{-\infty}^\infty F(\omega^\prime) e^{i \omega^\prime (t - \tau)} d\omega^\prime d\tau dt
Оскільки
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_{-\infty}^\infty e^{i (\omega^\prime - \omega )t} dt = 2\pi \delta(\omega^\prime - \omega)
,
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \delta(x)
- дельта-функція Дірака, інтегрування дає
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G(\omega) =\Alpha(\omega) F(\omega) \,
,
де
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Alpha(\omega) = \int_0^\infty \alpha(\tau)e^{i \omega \tau}
.
Важливим висновком з цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Alpha(\omega) .
