Дії над рядами
Ряди Фур'є застосовні до достатньо широкого класу функцій.
Комплексна форма ряду Фур'є (на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\pi;\pi]
)Комплексна форма ряду Фур'є (на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\pi;\pi]
)
Вираз :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}
називається комплексною формою ряда Фур'є функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
, якщо визначається рівністю
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-{ikx}} dx , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k=0,\pm1,\pm2,...
Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і навпаки виконується за допомогою формул:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{a_n-i b_n}{2}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{a_n+i b_n}{2}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n={c}_{n}+{c}_{-n}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=i({c_n}-{c_{-n}})
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n\in{\mathbb{N}}
Дії над рядами
Теорема
- Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{m=-\infty} {d}_{m}{e}^{imx}
- Тоді коефіцієнти функції добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})
отримуються у вигляді згортки коефіцієнтів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{k}
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {d}_{m}
, тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}
від добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}
Доведення.
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}\cdot{g(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}\cdot\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{c}_{k}{d}_{m}{e}^{i(k+m)x}=
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =[n=k+m; m=n-k]=
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}{e}^{inx}=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}){e}^{inx}
Отже: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}
Теорему доведено Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \blacksquare
Теорема
- Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {d}_{k}{e}^{ikx}
- Тоді функція, яка дорівнює їх сумі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c(x)}={f(x)}+{g(x)}
має такі коефіцієнти ряду Фур'є Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}={c}_{k}+{d}_{k}
, тобто:
- Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}({c}_{k}+{d}_{k}){e}^{ikx}
