Інтеграл Фур’є в комплексній формі

Інтеграл Фур'є в комплексній формі

Перетворення Фур'є Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t) \,

математично визначається як функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  F(\omega) \,

, яка задається інтегралом

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} dt

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t} d\omega = f(t)

Свойства

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_1(\R) , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций, и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

• Преобразование Фурье является линейным оператором:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha\hat{f}+\beta\hat{g}.

• Справедливо равенство Парсеваля: если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f\in L_1(\R)\cap L_2(\R)

, то преобразование Фурье сохраняет Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_2 -норму:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}|{\hat f(w)}|^2\,dw.

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_2(\R) . Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f\in L_2(\R) .

• Формула обращения:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(w)e^{ix\omega}\,dw

справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f

является достаточно гладкой. Если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f\in L_2(\R)

, то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): e^{i\omega x}

с частотами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega

, амплитудами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{\sqrt{2\pi}}|\hat{f}(\omega)|

и фазовыми сдвигами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \arg \hat{f}(\omega)
соответственно.

• Теорема о свертке: если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f,\;g\in L_1(\R)

, тогда

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi}\widehat{f}\widehat{g}

, где

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (f\ast g)(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t-s)g(s)\,ds.

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и сдвиг.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(w).

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функций Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \delta(x-x_0) , а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

• Преобразование Фурье и растяжение.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \widehat{f(ax)}=|a|^{-1}\hat{f}(w/a).

• Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S(\mathbb{R}):=\left\{\varphi\in C^{\infty}(R):\forall n,\;m\in\N\;x^n\varphi^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\pm\infty}0\right\}.

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S^*(\R) . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f\in S^*(\R)

её преобразованием Фурье называется обобщённая функция Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \hat{f}\in S^*(\R)

, действующая на основные функции по правилу

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \langle\hat{f},\;\varphi\rangle=\langle f,\;\hat{\varphi}\rangle.

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \langle\hat{\delta},\;\varphi\rangle=\langle\delta,\;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta,\;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\,dx=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\;\varphi\right\rangle.

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{\sqrt{2\pi}} .