Комплексна форма ряду Фур'є

Комплексна форма ряду Фур'є

Вираз Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{-\infty}^\infty c_n e^\frac{i\pi nx}{l}

називається комплексною формою ряда Фур'є функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

, якщо визначається рівністю

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_n=\frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) e^{-\frac{i\pi nx}{l}} dx , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n=0,\pm1,\pm2,...

Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і навпаки виконується за допомогою формул:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_n=\frac{a_n-i b_n}{2}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_0=\frac{a_0}{2}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega=\frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) dx

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n=2Re c_n

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=2Im c_n

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_0=2 c_0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (n=1,2, . . .)