Початково-крайова задача для рівняння теплопровідності. Метод Фур’є

Шаблон:Механика сплошных сред Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

Математически уравнение диффузии и уравнение теплопроводности не различаются, и применение того или иного названия ограничено только конкретным приложением, причем второе представляется более частным, так как можно говорить, что в этом случае речь идет о диффузии тепловой энергии.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

• Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера, отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Нестационарное уравнение

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D

уравнение имеет вид:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=\frac{\partial}{\partial x}D\frac{\partial}{\partial x}{c(x,\;t)}+f(x,\;t).

При постоянном Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D

приобретает вид:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=D\frac{\partial^2}{\partial x^2}{c(x,\;t)}+f(x,\;t),

где Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c(x,\;t)

— концентрация диффундирующего вещества, a Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x,\;t)
— функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r},\;t))+f(\vec{r},\;t),

где Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla=(\partial_x,\;\partial_y,\;\partial_z)

— оператор набла, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\;,\;)
— скалярное произведение. Оно также может быть записано как

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \partial_t c=\mathbf{div}\,(D\,\mathbf{grad}\,c)+f,

а при постоянном Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D

приобретает вид:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=D\Delta c(\vec{r},\;t)+f(\vec{r},\;t),

где Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}

— оператор Лапласа.

n-мерный случай

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n -мерный случай — прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n -мерные версии соответствующих операторов:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla=(\partial_1,\;\partial_2,\;\ldots,\;\partial_n),

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\nabla^2=\partial_1^2+\partial_2^2+\ldots+\partial_n^2.

Это касается и двумерного случая Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n=2 .

Мотивировка

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi=\varkappa\frac{\partial c}{\partial x}

(одномерный случай),

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf j=\varkappa\nabla c

(для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial c}{\partial t}+\frac{\partial\Phi}{\partial x}=0

(одномерный случай),

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{div}\,\mathbf j=0

(для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

• Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n -мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c

в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае — с ограниченной по времени памятью).

Решение

В одномерном случае фундаментальное решение однородного уравнения с постоянным — не зависящем от Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t
— Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D
(при начальном условии, выражаемом дельта-функцией Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_f(x,\;0)=\delta(x)
и граничном условии Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_f(\infty,\;t)=0

) есть

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_f(x,\;t)=\sqrt{\frac{1}{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right).

В этом случае Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_f(x,\;t)

можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t
перейдёт в пункт с координатой Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

. То же самое — с точностью до множителя, равного количеству диффундирующих частиц — относится к их концентрации, при условии отсутствия или пренебрежимости взаимодействия диффундирующих частиц между собой. Тогда (при таких начальных условиях) средний квадрат удаления диффундирующих частиц (или соответствующая характеристика распределения температуры) от начальной точки

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \langle x^2\rangle=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2 c_f(x,\;t)\,dx=2Dt.

В случае произвольного начального распределения Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c(x,\;0)

общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свёртка:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c(x,\;t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x',\;0)c_f(x-x',\;t)\,dx'=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x',\;0)\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{(x-x')^2}{4Dt}\right)\,dx'.

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше — и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные с временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Его общий вид:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): -(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r}))=f(\vec{r}).

• При Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D

, не зависящем от Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec{r} , стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона (неоднородное), или уравнением Лапласа (однородное, то есть при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f=0 ):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta c(\vec{r})=-\frac{f(\vec{r})}{D},

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta c(\vec{r})=0.

Постановка краевых задач

• Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

Найти решение уравнения теплопроводности в области Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): -\infty\leqslant x\leqslant +\infty

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t\geqslant t_0

, удовлетворяющее условию Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t_0)=\varphi(x)\quad(-\infty<x<+\infty) , где Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi(x)

— заданная функция.

• Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): -\infty\leqslant x\leqslant +\infty

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t\geqslant t_0

, удовлетворяющее условиям

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{\begin{array}{l} u(x,\;t_0)=\varphi(x),\quad(0<x<\infty) \\ u(0,\;t)=\mu(t),\quad(t\geqslant t_0) \end{array}\right.

где Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi(x)

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu(t)
— заданнные функции.

• Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл принебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leqslant x\leqslant l

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): -\infty<t

, удовлетворяющее условиям

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{\begin{array}{l} u(0,\;t)=\mu _1(t), \\ u(l,\;t)=\mu _2(t), \end{array}\right.

где Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu_1(t)

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu_2(t)
— заданнные функции.

• Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T

— уравнение теплопроводности.

Если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x,\;t)=0 , то такое уравнение называют однородным, в противном случае — неоднородным.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;0)=\varphi(x),\quad 0\leqslant x\leqslant l

— начальное условие в момент времени Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t=0

, температура в точке Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

задается функцией Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi(x)

.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left.\begin{array}{l} u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ u(l,\;t)=\mu_2(t), \end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T

— краевые условия. Функции Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu_1(t)
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mu_2(t)
задают значение температуры в граничных точка 0 и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): l
в любой момент времени Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t

.

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_i^2+\beta_i^2\ne 0,\;(i=1,\;2) ).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} \alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ \alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t)=\mu_2(t). \end{array}

Если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_i=0,\;(i=1,\;2) , то такое условие называют условием первого рода, если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \beta_i=0,\;(i=1,\;2)

— второго рода, а если Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_i
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \beta_i
отличны от нуля, то условием третьего рода. Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности — первую, вторую и третью краевую.

Способы решения уравнений теплопроводности

Метод разделения переменных

Однородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями

Рассмотрим следующую задачу

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} u_t=a^2 u_{xx},\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T \\ u(x,\;0)=\varphi(x);\quad 0\leqslant x\leqslant l \\ \left.\begin{array}{l} u(0,\;t)=0, \\ u(l,\;t)=0. \\ \end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T \\ \end{array}

Требуется найти функцию Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t)

для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \forall(x,\;t):0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T

.

Представим искомую функцию в виде произведения

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t)=X(x)T(t).

Затем предполагаемую форму решения подставим в исходное уравнение, получим

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X(x)T'(t)=a^2 X''(x)T(t).

Разделим выражение на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a^2 X(x)T(t)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{a^2}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\;\lambda=\mathrm{const}.

Так как в левой части уравнения у нас находится функция зависящая только от Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t , а в правой — только от Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x , то, фиксируя любое значение Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

в правой части, получаем, что для любого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t
значение левой части уравнения постоянно. Таким же образом можно убедиться, что и правая часть постоянна, то есть равна некой константе Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): -\lambda
(минус взят для удобства). Таким образом, мы получаем два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} X''(x)+\lambda X(x) = 0, \\ T'(t)+a^2\lambda T(t)=0. \end{array}

Обратим внимание на граничные условия исходной задачи и подставим в них предполагаемый вид уравнения, получим:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} u(0,\;t)=X(0)T(t)=0, \\ u(l,\;t)=X(l)T(t)=0, \end{array}

откуда Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X(0)=X(l)=0

(Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T(t)\ne 0

, так как в противном случае мы имели бы решение Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t)=0 , а мы ищем только нетривиальные решения).

С учетом полученных граничных условий мы получаем задачу Штурма — Лиувилля:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} X''(x)+\lambda X(x)=0; \\ X(0)=0, \\ X(l)=0. \\ \end{array}

Её решение сводится к решению линейного дифференциального уравнения и рассмотрению трёх случаев:

1. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda<0.

1. В этом случае общий вид решения будет следующим:

   Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X(x)=C_1 e^{\sqrt{-\lambda}x}+C_2 e^{-\sqrt{-\lambda}x}.

1. Подставив граничные условия, мы убедимся, что решение будет Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X(x)\equiv 0

, а мы ищем только нетривиальные решения, следовательно, этот случай не подходит.

1. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda=0.

1. Общий вид решения

   Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X(x)=C_1 x+C_2.

1. Несложно убедиться, что этот вариант нам также не подходит.

2. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda>0.

1. Общий вид решения

   Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X(x)=C_1\cos(\sqrt\lambda x)+C_2\sin(\sqrt\lambda x).

1. Подставим граничные условия:

   Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} X(0)=C_1=0, \\ X(l)=C_2\sin(\sqrt\lambda l)=0. \end{array}

1. Так как мы ищем только нетривиальные решения, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_2=0

нам не подходит, следовательно

1. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} \sin(\sqrt\lambda l)=0, \\ \sqrt\lambda l=\pi n,\quad n=1,\;2,\;\ldots \\ \end{array}

1. Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_n=\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2,\quad n=1,\;2,\;\ldots

1. Отсюда

   Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X_n(x)=C_n\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right),\;\quad n=1,\;2,\;\ldots

C учетом найденных Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda , выведем общее решение линейного дифференциального уравнения

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T'(t)+a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 T(t)=0.

Должен получиться ответ

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T_n(t)=D_n\exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 t\right),\quad D_n=\mathrm{const}.

Теперь всё готово для того, чтобы записать решение исходной задачи:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u_n(x,\;t)=X_n(x)T_n(t)=C_n\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right)\exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 t\right),\quad n=1,\;2,\;\ldots

В результате у нас получилось бесконечное количество частных решений уравнения. Все эти частные решения линейно независимы, то есть линейная комбинация любого количества решений равна нулю, только если все коэффициенты при них равны нулю. Поэтому логично предположить, что суммируя все частные решения по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n

от единицы до бесконечности, мы получим общее решение исходной задачи.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty C_n\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right)\exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 t\right).

Осталось определить значение константы Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C

(зависящей от Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n

) из начального условия

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;0)=\varphi(x).

Для того, чтобы определить значение Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_n , необходимо разложить функцию Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi(x)

в ряд Фурье:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} \varphi(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty A_n\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right), \\ A_n=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int\limits_0^l \varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi. \end{array}

Получаем:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} u(x,\;0)=\sum\limits_{n=1}^\infty C_n\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty A_n\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right), \\ C_n=A_n=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int\limits_0^l \varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi. \end{array}

Откуда общее решение:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\dfrac{2}{l}\int\limits_0^l \varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi\right)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right)\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right).

В курсе математической физики доказывается, что полученный ряд удовлетворяет всем условиям данной задачи, то есть функция Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t)

дифференцируема (и ряд сходится равномерно), удовлетворяет уравнению в области определения и непрерывна в точках границы этой области.

Неоднородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями

Рассмотрим способ решения неоднородного уравнения:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T \\ u(x,\;0)=0;\quad 0\leqslant x\leqslant l \\ \left.\begin{array}{l} u(0,\;t)=0, \\ u(l,\;t)=0. \\ \end{array} \right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T \end{array}

Пусть

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} u_n(x,\;t)=X_n(x)T_n(t), \\ f_n(x,\;t)=X_n(x)F_n(t), \\ X_n(x)=\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right). \end{array}

Тогда, пользуясь очевидным соотношением Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X''_n(x)=-\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 X_n(x) , перепишем исходное уравнение как:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} X_n(x)T'_n(t)=-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 X_n(x)T_n(t)+X_n(x)F_n(t), \\ T'_n(t)=-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 T_n(t)+F_n(t). \end{array}

Решим последнее линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянной. Сначала найдём общее решение однородного линейного уравнения

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} T'_n(t)=-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 T_n(t), \\ T_n(t)=D\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right). \end{array}

В общем решении заменим постоянную Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D

на переменную Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D(t)
и подставим в исходное уравнение.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} T_n(t)=D(t)\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right), \\ D'_n(t)\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)D_n(t)=-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)D_n(t)+F_n(t), \\ D'_n(t)\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)=F_n(t), \\ D_n(t)=\displaystyle\int F_n(t)\exp\left(a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)\,dt+A_n, \\ T_n(t)=A_n\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)+\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)\displaystyle\int F_n(t)\exp\left(a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)\,dt. \end{array}

Из начального условия получаем:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} u_n(x,\;0)=X_n(x)T_n(0)=0, \\ T_n(0)=0. \end{array}

С учетом условия для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T , получаем

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T_n(t)=\int\limits_0^t \exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 (t-\tau)\right)F_n(\tau)\,d\tau.

Так как

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_n(x,\;t)=X_n(x)F_n(t)=\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right)F_n(t),

то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_n(t) , очевидно, является коэффициентом ряда Фурье, и равен

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_n(t)=\frac{2}{l}\int\limits_0^l f(\xi,\;t)\sin\left(\frac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi.

В результате, общая формула такова:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty X_n(x)T_n(t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \left[\int\limits_0^t \exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 (t-\tau)\right)\left\{\frac{2}{l}\int\limits_0^l f(\xi,\;\tau)\sin\left(\frac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi\right\}\,d\tau\right]\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right).

Общая первая краевая задача

Во многих случаях удаётся решить уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми и начальным условиями

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t), \\ u(x,\;0)=\varphi(x), \\ u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ u(l,\;t)=\mu_2(t) \end{array}

с помощью методов, описанных выше и следующего несложного приёма. Представим искомую функцию в виде суммы:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} u(x,\;t)=\tilde u(x,\;t)+U(x,\;t), \\ \tilde u(x,\;0)=u(x,\;0)-U(x,\;0)=\varphi(x)-U(x,\;0), \\ \tilde u(0,\;t)=0, \\ \tilde u(l,\;t)=0. \end{array}

Найдём функцию Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,\;t)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} U(x,\;t)=Ax+b, \\ U(0,\;t)=b=\mu_1(t), \\ U(l,\;t)=Al+\mu_1=\mu_2\Rightarrow A=\dfrac{\mu _2(t)-\mu_1(t)}{l}, \\ U(x,\;t)=\dfrac{\mu_2(t)-\mu_1(t)}{l}x+\mu_1(t). \end{array}

Таким образом, исходная задача свелась к следующей:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{array}{l} \tilde u_t=a^2\tilde u_{xx}+f(x,\;t)-\dfrac{\mu'_2(t)-\mu'_1(t)}{l}x-\mu'_1(t), \\ \tilde u(x,\;0)=\varphi(x)-\dfrac{\mu_2(0)-\mu_1(0)}{l}x-\mu_1(0), \\ \tilde u(0,\;t)=0, \\ \tilde u(l,\;t)=0. \end{array}

После того, как мы найдём функцию Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde u(x,\;t) , искомую функцию найдём по формуле

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t)=\tilde u(x,\;t)+\frac{\mu_2-\mu_1}{l}x+\mu_1.

Принцип максимума

Пусть функция Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t)

в пространстве Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D\times[0,\;T],\;D\in\R^n

, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=0 , причем Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D

— ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u(x,\;t)
может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): D

.

Диффузии уравнение Диффузии уравнение