Асимптотичні розвинення циліндричних функцій.

Асимптотичне розвинення - це наближене представлення функції при великих значеннях Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{Z}

.

Функція Бесселя асимптотично має вигляд:

1) якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z}\rightarrow{\infty}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}[{A_m(z)\cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})-B_m(z)\sin(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})]}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}[{A_m(z)\sin(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})-B_m(z)\cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})]}

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{A_m(z)}

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{B_m(z)}
мають асимптотичне розвинення:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A_m(z)=1-\frac{({4m^2}-1)({4m^2}-9)}{2!(8z)^2}+\frac{({4m^2}-1)({4m^2}-9)({4m^2}-25)({4m^2}-49)}{4!(8z)^4}\mp...

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B_m(z)=\frac{({4m^2}-1)}{8z}+\frac{({4m^2}-1)({4m^2}-9)({4m^2}-25)}{3!(8z)^3}\pm...

Аналогічні вирази можна отримати для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)
, користуючись їх зв'язком з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_m}(z)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m}(z)

2) якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): |{z}|\gg{m}

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {z}\rightarrow{\infty}
 то справедливі асимптотичні формули:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {J_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}cos(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {N_m(z)}\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}sin(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})

Тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{A_m(z)} =1 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~{B_m(z)} =0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(1)}(z)\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}e^{i(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {H_m}^{(2)}(z)\simeq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi{z}}}e^{-i(z-\frac{m\pi}{2}-\frac{\pi}{4})}

Асимптотичне розвинення зручно застосовувати для спрощення обчислення при великих Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{Z} , а також для перевірки отриманого результату.