Розв’язання рівняння Беселя. Функції Беселя першого роду

Опції Бесселя в математиці - сім'я функцій, які є канонічними розв'язками диференціального рівняння Бесселя:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha  — довільне дійсне число, яке називається порядком.

Найбільш часто використовуються функції Бесселя цілих порядків.

Хоча Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha

и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (-\alpha)
породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була  гладкою по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha
).

Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком Даніелем Бернуллі, а названі на честь Фрідріха Бесселя.

Застосування

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження розв'язків рівняння Лапласа та рівняння Гельмгольца в циліндричних та сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при розв'язаніі багатьох задач про поширення хвиль, статичних потенціалах і т. п., наприклад:

• теплопровідність в циліндричних об'єктах;
• Форми коливання тонкої круглої мембрани
• Швидкість частинок в циліндрі, заповненому рідиною і який обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і в рішенні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.

Визначення

Оскільки наведене рівняння є рівнянням другого порядку, у нього має бути два лінійно незалежних рішення. Проте залежно від обставин вибираються різні визначення цих рішень. Нижче наведені деякі з них.

Опції Бесселя першого роду

Функціями Бесселя першого роду, які позначаються Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha(x) , є розв'язки, скінченні в точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x=0

при цілих або невід'ємних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha

. Вибір конкретної функції і її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладу в ряд Тейлора в околі нуля (або в більш загальний степеневий ряд при нецілих Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha ):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}

Тут Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Gamma(z)

- Це гамма-функція Ейлера, узагальнення факторіала на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на  синусоїду, коливання якої затухають пропорційно Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{1}{\sqrt{x}}

, хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.

Нижче наведені графіки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha (x)

для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha = 0, 1, 2

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha

не є цілим числом, функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha (x)
и Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_{-\alpha} (x)
лінійно незалежні і, отже, є рішеннями рівняння. Але якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha
ціле, то вірно наступне співвідношення:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,

Воно означає, що в цьому випадку функції лінійно залежні. Тоді другим рішенням рівняння стане функція Бесселя другого роду.

Інтеграли Бесселя

Можна дати інше визначення функції Бесселя для цілих значень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha , використовуючи інтегральне представлення:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau

Цей підхід використовував Бесселя, вивчивши з його допомогою деякі властивості функцій. Можливо і інше інтегральне представлення:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\,d\tau