Косинус та синус перетворення Фур'є

Розглянемо часткові випадки:

1.Нехай функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

-парна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -парна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin(\alpha\ t)

-непарна,тоді:Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(alpha)}=0;f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}

Якщо функція f(x)-довільна,визначена на проміжку (0; ,то парне продовження цієї функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)= \begin{cases} f(x),& x \geqslant 0\\ f(-x), & x < 0

розвинення парного продовження:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_2(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}

Для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {A(alpha)}cos (\alpha\ x){d(alpha)}

(*)

2.Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

-непарна,тоді Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)cos (\alpha\ t) -непарна,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(t)sin (\alpha\ t) -парна;Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {A(alpha)}=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {B(alpha)}=(\frac{2}{\pi})\int_0^\infty f(t)sin(\alpha\ t)dt

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}

Якщо функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) -довільна,визначена на проміжку,тоді непарне продовження буде

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) = \begin{cases} f(x), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ f(-x), & x < 0 \end{cases},\ розвинення непарногопродовження: :<math>f_1(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}

Для будь-якогоНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): x>=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\int_0^\infty {B(alpha)}sin (\alpha\ x){d(alpha)}

(**)

Розглянемо формулу (*),тоді отримаємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)={ \sqrt{2}\frac}{pi}\\

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {F(alpha)}=\int_0^\infty f(t)cos(\alpha\ t)dt

називаэться Косинус-перетвореннямфункціїНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) ,а функція називається Оберненим косинус-перетвореннямдля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

Аналогічно вводится пряме та обернене синус-перетворенняНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

Зауваження:

Пряме синус та косинус-перетворення з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\frac{2}{\pi})

,а оберене з 1 та навпаки.

Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

називають їїОригіналом,а функції називають ОбразамифункційНеможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) відносно перетворення.

Косинус і синус інтеграли Фур'є

,породжені дійсною функцією f(t),абсолютна величина якої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\shortmid f(t)\shortmid} інтегрує по інтервалу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {0<t<+\infty} ,визначається відповідно так: