Умови оптимальності плану першого етапу задачі стохастичного програмування.

Сформулюємо необхідні умови оптимальності попереднього плану Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x

двохетапної задачі. 

Введемо вектор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~c_x=M[c-z^*(A,b,x)A]

та лінійну форму Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_{x_{1}}=(c_1,x)=M[c-z^*(A,b,x_1)A]x .

Теорема 1 (Необхідна умова оптимальності плану двохетапної задачі.):

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^*

- розв’язок двохетапної задачі, то для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_x(x^*)\leq{L_x(x)}

(5.1) 

Доведення:

Оскільки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^*

- оптимальний план, а  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x 
– план двохетапної задачі, то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x^*)\leq{Q(x)}

, тобто

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\{cx^*+z^*(A,b,x^*)(b-Ax^*)\}\leq{M\{cx+z^*(A,b,x)(b-Ax)\}}

(5.2) </font>

Крім того,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M\{z^*(A,b,x^*)(b-Ax^*)\}\geq{M\{z^*(A,b,x)(b-Ax^*)\}}

(5.3) 

так як Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z^*(A,b,x^*) - оптимальний план задачі (3.8)-(3.9), двоїстої до задачі другого етапу при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x=x^*.

Віднімаючи (3) від (2) приходимо до твердження (1):

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(cx^*)+M(z^*(A,b,x^*)b)-M(z^*(A,b,x^*)Ax^*)-M(z^*(A,b,x)Ax^*)+M(z^*(A,b,x)b)\leq{M(cx)+M(z^*(A,b,x)b)-M(z^*(A,b,x)Ax)-M(z^*(A,b,x^*)Ax^*)+M(z^*(A,b,x^*)b)}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(cx^*)-M(z^*(A,b,x)Ax^*)\leq{M(cx)-M(z^*(A,b,x)Ax)}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M[c-z^*(A,b,x)A]x^*\leq{M[c-z^*(A,b,x)A]x}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_x(x^*)\leq{L_x(x)}

Теорема доведена.

Теорема 1 містить ідею аналізу двохетапної задачі. Теорема стверджує, що розв’язок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^*

двохетапної задачі надає лінійній формі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_{x_1}(x)=M[c-z^*(A,b,x_1)A]x
значення, що не перевищує значення форми в точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_1 \in K

.

Звідси випливає наступний метод аналізу двохетапної задачі.

Обираємо деяку кількість точок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_1 \in K

та обчислюємо для них розв’язки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~z^*(A,b,x_1)
задачі лінійного програмування (3.8)-(3.9), двоїстої до задачі другого етапу. 

Для кожного обраного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~x_1

будуємо нерівність типу (1): Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): L_{x_1}(x)\leq{L_{x_1}(x_1)}

.

Отримана таким чином послідовність нерівностей представляє собою систему обмежень, що звужують множину, в якій міститься оптимум, і, відповідно, тих, що скорочують діапазон зміни показника якості розв’язку двохетапної задачі.

Наведемо економічну інтерпретацію умови (1).

Вектор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z^*(A,b,x)

– розв’язок задачі (3.8)-(3.9), двоїстої до задачі другого етапу, представляє собою вектор оцінок продуктів, що виявилися дефіцитними або надлишковими при інтенсивностях Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x 
технологічних способів після того, як були реалізовані технологічна матриця Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A 
та вектор попиту Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b 

. Ці оцінки визначають вплив величини нев’язки на витрати, пов’язані з найбільш економною ліквідацією нев’язок. Величина

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{i=1}{a_{ij}z^{*}_i(A,b,x)}-c_j

вказує на прибутковість експлуатації j-ого технологічного способу з одиничною інтенсивністю у припущенні, що параметри умов задачі реалізувалися як елементи матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A

та складові векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b 
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ c 

, а оцінки продуктів пораховані для випадку, коли експлуатація технологічних способів відбувається з інтенсивністю Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x .

Якщо вектор Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^*

визначає оптимальний попередній план двохетапної задачі, то сумарний середній прибуток при інтенсивностях Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^* 
використання технологічних способів виробництва, підрахований в оптимальних оцінках (ті, що відповідають Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^* 

), не менший сумарного середнього прибутку, порахованого в оптимальних оцінках для будь-якого іншого допустимого плану Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x.

Теорема 2 (Необхідна і достатня умова оптимальності плану двохетапної задачі.):

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^* - внутрішня точка множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ K , а цільова функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

детермінованої задачі, еквівалентної двохетапній задачі, диференційована в околі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^* 

. Тоді задача (3.8)-(3.9), двоїста до задачі другого етапу, має розв’язок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z^*(A,b,x^*)

такий, що  

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_{x^*}=M[c-z^*(A,b,x^*)A]=0

(4)

тоді і тільки тоді, коли Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^*

- розв’язок двохетапної задачі. 

Доведення:

Згідно з теоремою 4.3, що визначає опорний функціонал до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x) , стверджуємо, що гіперплощина

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~u=M[c-z^*(A,b,x_0)A]x+Mz^*(A,b,x_0)b

є опорною гіперплощиною до множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): u\geq{Q(x)}

в точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~x=x_0

.

За умовою опукла функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

диференційована в точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x=x^* 

. Відповідно, опорна гіперплощина

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~u=M[c-z^*(A,b,x^*)A]x+Mz^*(A,b,x^*)b

дотикається до гіперповерхні Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ u=Q(x)

в точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x=x^* 

.

Враховуючи, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^*

- внутрішня точка множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ K 
отримаємо, що рівність 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}=M[c-z^*(A,b,x^*)A]=0

є необхідною умовою оптимальності вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x^* .

Рівність (4) є також і достатньою умовою, оскільки функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

опукла до низу.  

Теорема доведена.

[1, c. 161-163].

Список використаних джерел

1. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. / Юдин Д. Б. М: «Сов. радио», 1974. – 400 с.

Виконала: Гонтаренко Марія

Доповнювала: Іванченко Олександра