Ігрова постановка задач СП.
Зазвичай в задачах стохастичного програмування спільний розподіл випадкових параметрів умов задачі припускається заданим. В тих випадках, коли за тими чи іншими міркуваннями визначення спільного розподілу випадкових початкових даних не є можливим, стохастична задача може бути розглянута як гра двох осіб з нульовою сумою.
Першим є гравець, який приймає рішення. Він прагне звести до мінімуму середню плату за гру. Йому протистоїть природа, що обирає свої стани, виходячи з тенденції максимізувати середню плату першого гравця. При кожному стані природи та виборі стратегії х першого гравця, функція плати задається як сума відповідних значень лінійної форми задачі та штрафу за нев’язку плану.
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g[x,A(\omega),b(\omega),c(\omega)]=\sum^{n}_{j=1} c_j(\omega)x_j + \sum^{m}_{i=1} \phi_i \left[\sum^{n}_{j=1} a_{ij}(\omega)x_j-b_i(\omega)\right] \
(2.1)
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi_i(y),(i=1,2,...,m)
– неперервна неспадна функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y
, що дорівнює нулю при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \leq 0 .
У термінах теорії ігор план початкової задачі інтерпретується як чиста стратегія першого гравця. Позначимо задану множину чистих стратегій того, хто приймає рішення через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M . Множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega
станів природи визначає множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N евклідового простору розмірності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): mn+m+n
, що відповідає допустимій області змін елементів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{ij}(\omega),b_i (\omega),c_j (\omega)
умов задачі.
Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S
множину мішаних стратегій першого гравця, тобто множину розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
, визначених на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M , а через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T
– множину мішаних стратегій другого гравця – природи, тобто множину спільних розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{A,b,c}
матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A(\omega)
та векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b(\omega)
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c(\omega)
, визначених на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N . У тих випадках, коли розподіл частини параметрів відомий, розглядаються лише ті мішані стратегії, в яких розподіл цих параметрів збігається з відомим. Нехай вони утворюють множину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{T} \subset T .
У прийнятих позначеннях ігрова постановка задачі стохастичного програмування (задачі управління в умовах часткової невизначеності) може бути сформульована таким чином.
Потрібно обчистити такі мішані стратегії Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*\in S
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{A,b,c}^*\in \tilde{T}
, що
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{F_x\in S} \max_{F_{A,b,c}^*\in \tilde{T}} \int_{M\times N} g(\xi,\alpha,\beta,\gamma)dF_x(\xi)dF_{A,b,c}(\alpha,\beta,\gamma) = \max_{F_{A,b,c}^*\in \tilde{T}} \min_{F_x\in S} \int_{M\times N} g(\xi,\alpha,\beta,\gamma)dF_x(\xi)dF_{A,b,c}(\alpha,\beta,\gamma)=
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\int_{M\times N} g(\xi,\alpha,\beta,\gamma)dF_x^*(\xi)dF_{A,b,c}^*(\alpha,\beta,\gamma)
(2.2)
При досить загальних умовах (компактності множин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N
) існують Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*\in S
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{A,b,c}^*\in \tilde{T}
, на яких досягається розв’язок гри.
Зазвичай розглядають два крайніх випадки задачі управління в умовах часткової невизначеності: задачу вибору рішення в умовах невизначеності та задачу вибору розв’язку в умовах ризику. Перша постановка відповідає випадку, коли про спільне розподіл Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{A,b,c}
параметрів умов задачі заздалегідь нічого невідомо. У цьому випадку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T \equiv \tilde{T}
являє собою безліч всіляких розподілів, визначених на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): N
, і розв’язок Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*
стохастичної задачі визначає, взагалі кажучи, мішану стратегію.
В задачах управління в умовах ризику функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{A,b,c}
відома заздалегідь і множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{T}
складається з цього єдиного елементу. Залежно від того, як обирається множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M
планів задачі, отримаємо різні постановки задач стохастичного програмування. Зокрема, якщо в якості множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M
взяти область
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \{x: P[A(\omega)x \leq b(\omega)]\} \geq \alpha, 0\le\alpha\le1 ,
отримаємо задачу з імовірнісними обмеженнями.
Розв’язком цієї задачі є детермінований план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x , тобто оптимальна стратегія першого гравця – чиста стратегія.
Нехай і раніше Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S
– множина мішаних стратегій першого гравця – множина допустимих розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x вектора Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x
, а Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T
– множина мішаних стратегій природи – множина розподілів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{\omega}
випадкових параметрів умов задачі. При досить загальних умовах існує розв’язок гри в мішаних стратегіях, тобто існує сідлова точка функції плати:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_{X\times \Omega} g(\omega,x)dF_xdF_{\omega}
Іншими словами, існують мішані стратегії Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*\in S
та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{A,b,c}^*\in \tilde{T}
(Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{T}
– множина, визначена заданими обмеженнями на допустимі мішані стратегії природи), такі, що
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{F_x\in S} \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \int_{X\times \Omega} g(\omega,x)dF_xdF_{\omega} = \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \min_{F_x\in S} \int_{X\times \Omega} g(\omega,x)dF_xdF_{\omega} = \int_{X\times \Omega} g(\omega,x)dF_x^*dF_{\omega}^*
(2.3)
Оптимальна стратегія Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_x^*
першого гравця являє собою апріорний розв’язувальний розподіл задачі стохастичного програмування в ігровій постановці.
Особливий інтерес, природно, викликають випадки, коли можна отримати розв’язок в чистих стратегіях.
Теорема 2.1. Нехай непорожня множина Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{T}
опукла та слабкокомпактна, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi_i, i=1,...,m.
опуклі, а ψ_0 (ω,x) та φ_i [ψ_i (ω,x) ],i=1,…,m рівномірно (по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{\omega}\in \tilde{T}
) інтегровані для всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x\in X = \{x\geq0\} . Тоді
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in X} \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \int_{\Omega} g(\omega,x)dF_{\omega} = \max_{F_{\omega}\in \tilde{T}} \min_{x\in X} \int_{\Omega} g(\omega,x)dF_{\omega} = \int_{\Omega} g(\omega,x^*)dF_{\omega}^*
Оптимальна чиста стратегія Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x^*
першого гравця являє собою апріорне розв’язувальне правило задачі стохастичного програмування в ігровій постановці [1, c. 136-138].
Список використаних джерел
1. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. / Юдин Д. Б. М: «Сов. радио», 1974. – 400 с.
Виконала: Іванченко Олександра
